Коррелограммный метод

Коррелограммный метод — один из методов оценки спектральной плотности мощности сигнала.

Предварительные сведения

Математическое ожидание случайной величины $x(n)$ (среднее) есть: $E[x(n)]=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N{x}_n$. Автокорреляционная функция определяется как скалярное произведение сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения т. н. корреляционного сдвига $m$: $r_{xx}(m)=E[x(n+m)x(n)]$.

Сущность метода

Согласно теореме Винера-Хинчина автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности $S(\omega )$ связаны соотношением (преобразованием Фурье): $S(\omega )=T\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{r}_{xx,m}{e}^{-j\omega mT}$, где $T$ — интервал дискретизации. На практике для вычисления спектральной плотности мощности используют ограниченную сумму и некоторую оценку автокорреляционной функции. Например, можно использовать оценку $r_{xx}^1=\frac{1}{N-m}\sum _{n=0}^{N-M-1}{x}_{n+m}{x}_n$, которая является несмещенной (то есть $E[r_{xx}^1]=r_{xx}$). Также можно пользоваться смещенной оценкой: $r_{xx}^2=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-M-1}{x}_{n+m}{x}_n$, математическое ожидание которой $E[r_{xx}^2]=\frac{N-m}{N}{r}_{xx}$. При наличии оценки (например, несмещенной) автокорреляционной функции для максимально возможного корреляционного сдвига $L$, вычисление спектральной плотности мощности выполняется по формуле: $S_1(\omega )=T\sum _{m=-L}^L{r}_{xx,m}^1{e}^{-j\omega mT}$.

Коррелограммный метод дополняется умножением автокорреляционной функции на функцию весового окна $w(m)$: $S_1(\omega )=T\sum _{m=-L}^L{r}_{xx,m}^1{w}_m{e}^{-j\omega mT}$.

Литература

• Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985.
• Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982.