Корреляционный интеграл

В теории хаоса, корреляционным интегралом называется усреднённая вероятность того, что состояния системы в два различных момента времени кажутся близкими:

$C(\epsilon )=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N^2}\sum _{i,j=1}^N\mathrm{\Theta }(\epsilon -||\overrightarrow{x}(i)-\overrightarrow{x}(j)||),\overrightarrow{x}(i)\in {ℝ}^m,$

где $N$ есть объём выборки $\overrightarrow{x}(i)$, $\epsilon$ — пороговое расстояние, $||\cdot ||$ — норма (напр., евклидова норма) и $\mathrm{\Theta }(\cdot )$ — функция Хевисайда. Если известны лишь значения временного ряда, фазовое пространство может быть восстановлено с использованием вложения по времени задержки (см. теорему Такенса):

$\overrightarrow{x}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\dots ,u(i+\tau (m-1)),$

Здесь $u(i)$ — временной ряд, $m$ — размерность вложения, а $\tau$ — временная задержка.

Корреляционный интеграл используется для вычисления корреляционной размерности.

Оценка корреляционного интеграла даётся корреляционной суммой:

$C(\epsilon )=\frac{1}{N^2}\sum _{i,j=1}^N\mathrm{\Theta }(\epsilon -||\overrightarrow{x}(i)-\overrightarrow{x}(j)||),\overrightarrow{x}(i)\in {ℝ}^m.$

См. также

• Теория хаоса

Примечания

• Шаблон:Статья (LINK)