Кривая Лоренца

Шаблон:Ук Кривая Лоренца (Шаблон:Lang-en) — графическое изображение функции распределения, предложенная американским экономистом Максом Отто Лоренцем в 1905 году как показатель неравенства в доходах населения. Кривая Лоренца представляет функцию распределения, в которой аккумулируются доли численности и доходов населения. В прямоугольной системе координат кривая Лоренца является выпуклой вниз и проходит под диагональю единичного квадрата, расположенного в I координатной четверти.

Определение

Согласно американским экономистам К. Р. Макконнеллу и С. Л. Брю кривая Лоренца — это кривая распределения дохода в экономике, где суммарный процент домохозяйств, получающий доход, отложен на оси абсцисс, а суммарный процент доходов — по оси ординат. Кривая Лоренца демонстрирует степень неравенства распределения доходов: область между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца (практического распределения дохода).

Каждая точка на кривой Лоренца соответствует утверждению вроде «20 самых бедных процентов населения получают всего 7 % дохода». В случае равного распределения каждая группа населения имеет доход, пропорциональный своей численности. Такой случай описывается кривой равенства (line of perfect equality), являющейся прямой, соединяющей начало координат и точку (1;1). В случае полного неравенства (когда лишь один член общества имеет доход) кривая (line of perfect inequality) сначала «прилипает» к оси абсцисс, а потом из точки (1;0) «взмывает» к точке (1;1). Кривая Лоренца заключена между кривыми равенства и полного неравенства.

Кривые Лоренца применяют для распределений не только доходов, но и имущества домохозяйств, долей рынка для фирм в отрасли, природных ресурсов по государствам.

Формула

Формально, если $p=F(x)$ — это доля населения с подушевым доходом не более $x$, т.е. функция распределения для дохода, то средний доход на душу населения $\mu$ можно вычислить по формуле

$\mu =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xdF=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx,$

где $f(x)$ есть плотность распределения для $F(x)$, если она существует. Если $0<\mu <+\mathrm{\infty },$ то функция Лоренца определяется формулой

$L(p)=L(F(x))=\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}tf(t)dt}{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}tf(t)dt}=\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}tf(t)dt}{\mu }$

(при $\mu =0$ или $\mu =+\mathrm{\infty }$ функция Лоренца не определена). График функции Лоренца называется кривой Лоренца. Если существует обратная функция $x=F^{-1}(p)$, то

$L(p)=\frac{\underset{0}{\overset{p}{\int }}{F}^{-1}(p)dp}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{F}^{-1}(p)dp}.$

Пример. Если $F(x)=x^n$ при $0\le x\le 1$ и $F(x)=1$ при $x\ge 1$, то $L(p)=p^{1+\frac{1}{n}}$. При $n\to +\mathrm{\infty }$ функция распределения стремится к функции скачка в точке 1, отвечающей равномерному распределению дохода, а $L(p)\to p$, то есть кривая Лоренца стремится к кривой равенства.

Присутствие точки $(p,L(p))$ на кривой Лоренца означает, что доля $p$ самых бедных жителей совокупно обладает долей $L(p)$ общего дохода. Например, на приведенном ниже рисунке видно, что на примерно 3/4 самых бедных жителей приходится примерно половина всех доходов.

Производные показатели неравенства

Из кривой Лоренца можно вывести количественные показатели неравенства, например, коэффициент Джини и индекс Робин Гуда.

На данном рисунке изображена кривая Лоренца и индекс Робин Гуда, приблизительно равный 0.25, что означает, что при перераспределении четверти общего дохода данного общества можно добиться равенства в доходах.

Индекс Робин Гуда (Robin Hood index), также известный как индекс Гувера (Hoover index), — это ещё один показатель неравенства по доходам, имеющий связь с кривой Лоренца. Он равен той доле дохода общества, которую необходимо перераспределить для достижения равенства. Графически он представим как самый длинный вертикальный отрезок, соединяющий фактическую кривую Лоренца с линией равенства (биссектрисой I координатной четверти).

При абсолютной делимости дохода индекс Гувера принадлежит полуоткрытому интервалу [0;1). Если же доход не делим до бесконечности, то говорят о доле дохода, перераспределение которой максимально приближает данное общество к равенству.

Индекс Робин Гуда широко используется в оценках обеспеченности населённых районов врачами общей практики. При таких оценках кривая Лоренца будет наполняться не доходами, а удельным числом врачей общей практики на местность или группу людей, а ранжировать по данному показателю следует не домохозяйства, а местности или группы людей. Таким образом, он показывает, какую часть докторов следует перенаправить в другие районы для поддержания равной обеспеченности медицинским персоналом на всей исследуемой территории.