Критерий Краскела — Уоллиса

Критерий Краскела — Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона — Манна — Уитни. Критерий Краскела — Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Известен также под названиями: H-критерий Краскела — Уоллиса, однофакторный дисперсионный анализ Краскела — Уоллиса (Шаблон:Lang-en), тест Крускала — Уоллиса (Шаблон:Lang-en). Назван в честь американских математиков Уильяма Краскела и Аллена Уоллиса.

Примеры задач

Проходит чемпионат мира по футболу. Первая выборка — опрос болельщиков с вопросом «Каковы шансы на победу сборной России?» до начала чемпионата. Вторая выборка — после первой игры, третья — после второго матча и т. д. Значения в выборках — шансы России на победу по десятибалльной шкале (1 — «никаких перспектив», 10 — «отвезти в Россию кубок — дело времени»). Требуется проверить, зависят ли результаты опросов от хода чемпионата.

Описание критерия

Заданы $k$ выборок:

$x_1^{n_1}=\{x_{11},\dots ,x_{1n_1}\},\dots ,x_k^{n_k}=\{x_{k1},\dots ,x_{k{n}_k}\}$.

Объединённая выборка будет иметь вид:

$x=x_1^{n_1}\cup x_2^{n_2}\cup \dots \cup x_k^{n_k}.$

Дополнительные предположения:

1. все выборки простые, объединённая выборка независима;
2. выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений $F_1(x),\dots ,F_k(x)$.

Проверяется нулевая гипотеза $H_0:F_1(x)=\dots =F_k(x)$ при альтернативе $H_1:F_1(x)=F_2(x-{\mathrm{\Delta }}_1)=\dots =F_k(x-{\mathrm{\Delta }}_{k-1})$.

Упорядочим все $N=\sum _{i=1}^k{n}_i$ элементов выборок по возрастанию и обозначим $R_{ij}$ ранг $j$-го элемента $i$-й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика критерия Краскела — Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения двух сравниваемых выборок имеет вид:

$H=\sum _{i=1}^k(1-\frac{n_i}{N}){\left\{\frac{{\overline{R}}_i-\frac{N+1}{2}}{\sqrt{\frac{(N-n_i)(N+1)}{12n_i}}}\right\}}^2=\frac{12}{N(N+1)}\sum _{i=1}^k{n}_i{({\overline{R}}_i-\frac{N+1}{2})}^2=$

$=\frac{12}{N(N+1)}\sum _{i=1}^k\frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1)$,

где

$R_i=\sum _{j=1}^{n_i}{R}_{ij}$;

${\overline{R}}_i=\frac{1}{n_i}{R}_i$.

Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости $\alpha$, если $H⩾H_{\alpha }$, где $H_{\alpha }$ — критическое значение, при $k⩽5$ и $n_i⩽8$ вычисляемое по таблицам. При бо́льших значениях применимы различные аппроксимации.

Аппроксимация Краскела — Уоллиса

Пусть

$M=\frac{N^3-\sum _{i=1}^k{n}_i^3}{N(N+1)}$;

${\nu }_1=(k-1)\frac{(k-1)(M-k+1)-V}{\frac{1}{2}MV}$;

${\nu }_2=\frac{M-k+1}{k-1}{\nu }_1$;

$V=2(k-1)-\frac{2\{3k^2-6k+N(2k^2-6k+1)\}}{5N(N+1)}-\frac{6}{5}\sum _{i=1}^k\frac{1}{n_i}$.

Тогда статистика $F=\frac{H(M-k+1)}{(k-1)(M-H)}$ будет иметь при отсутствии сдвига $F$-распределение с ${\nu }_1$ и ${\nu }_2$ степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости $\alpha$, если $F>F_{\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)$.

Аппроксимация Имана — Давенпорта

В соответствии с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью $\alpha$, если $J⩾J_{\alpha }$, где $J=\frac{H}{2}(1+\frac{N-k}{N-1-H})$; $J_{\alpha }=\{(k-1)F_{\alpha }(k-1;N-k)+{\chi }_{\alpha }^2(k-1)\}$, $F_{\alpha }(f_1;f_2)$ и ${\chi }_{\alpha }^2(a)$ — соответственно критические значения статистик Фишера и хи-квадрат с соответствующими степенями свободы.

Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Краскела — Уоллиса. При наличии связанных рангов (то есть когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваиваются одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику $H^{*}=H{\{1-\left(\sum _{j=1}^q\frac{T_j}{N^3-N}\right)\}}^{-1}$, где $T_j=t_j^3-t_j$; $t_j$ — размер $j$-й группы одинаковых элементов; $q$ — количество групп одинаковых элементов. При $n_i⩾20$ справедлива аппроксимация распределения статистики $H$; ${\chi }^2$-распределением с $f=k-1$ степенями свободы, то есть нулевая гипотеза отклоняется, если $H⩾{\chi }_{\alpha }^2(k-1)$.

См. также

• Критерий Кохрена

Литература

• Kruskal W. H., Wallis W. A. Use of ranks in one-criterion variance analysis. // Journal of the American Statistical Association. — 1952, 47 № 260. — pp. 583—621.
• Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики. — М.: Финансы и статистика, 1985.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 466—468 с.

Ссылки

• Критерий Краскела — Уоллиса