Распределение Фишера

Распределе́ние Фи́шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение

Пусть $Y_{1}, Y_{2}$ — две независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат: $Y_{i} \sim χ^{2} (d_{i})$ , где $d_{i} \in ℕ, i = 1, 2$ . Тогда распределение случайной величины

F = \frac{Y_{1} / d_{1}}{Y_{2} / d_{2}}

называется распределением Фишера (распределением Снедекора) со степенями свободы

d_{1}

и

d_{2}

. Пишут

F \sim F (d_{1}, d_{2})

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Фишера, имеют вид:

𝕄 [F] = \frac{d_{2}}{d_{2} - 2}

, если

d_{2} > 2

,

D [F] = \frac{2 d_{2}^{2} (d_{1} + d_{2} - 2)}{d_{1} (d_{2} - 2)^{2} (d_{2} - 4)}

, если

d_{2} > 4

.

Если $F \sim F (d_{1}, d_{2})$ , то $\frac{1}{F} \sim F (d_{2}, d_{1})$ .
Распределение Фишера сходится к единице. Доказательство:
если $F_{d_{1}, d_{2}} \sim F (d_{1}, d_{2})$ , то $F_{d_{1}, d_{2}} \to δ (x - 1)$ по распределению при $d_{1}, d_{2} \to \infty$ , где $δ (x - 1)$ — дельта-функция в единице, то есть распределение случайной величины-константы $X \equiv 1$ .

Если $F_{d_{1}, d_{2}} \sim F (d_{1}, d_{2})$ , то случайные величины $d_{1} F_{d_{1}, d_{2}}$ сходятся по распределению к $χ^{2} (d_{1})$ при $d_{2} \to \infty$ .