Критерий Эйзенштейна

Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий» (см. ниже).

Формулировка

Пусть $a(x)=a_0+a_{1}x+\mathrm{...}+a_n{x}^n$ — многочлен над факториальным кольцом R ($n>0$), и для некоторого простого $p$ выполняются следующие условия:

• $p\nmid a_n$ (то есть $a_n$ не делится на $p$),
• $p\mid a_i$ для любого i от 0 до n-1,
• $p^2\nmid a_0$.

Тогда многочлен $a(x)$ неприводим над F — полем частных кольца R.

Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$, а F — поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Доказательство

Предположим обратное: $a(x)=f(x)g(x)$, где $f(x)=b_0+b_{1}x+\mathrm{...}+b_k{x}^k$ и $g(x)=c_0+c_{1}x+\mathrm{...}+c_m{x}^m$ многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

$a_0=b_0{c}_0$

По условию $p\mid a_0$ и R факториально, поэтому либо $p\mid b_0$ либо $p\mid c_0$, но не то и другое вместе ввиду того, что $p^2\nmid a_0$. Пусть $p\mid b_0$ и $p\nmid c_0$. Все коэффициенты $f(x)$ не могут делиться на $p$, так как иначе бы это было бы верно для $a(x)$. Пусть $i$ — минимальный индекс, для которого $b_i$ не делится на $p$. Отсюда следует:

$a_i=b_i{c}_0+b_{i-1}{c}_1+\mathrm{...}$

Так как $p\mid a_i$ и $p\mid b_j$ для всех $j<i$ то $p\mid b_i{c}_0$, но это невозможно, так как по условию $p\nmid c_0$ и $p\nmid b_i$. Теорема доказана.

Примеры

• Многочлен $x^3+2$ неприводим над $\mathbb{Q}.$
• Многочлен деления круга $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\mathrm{...}+1$ неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен $f(x+1)=\frac{(x+1{)}^p-1}{(x+1)-1}=x^{p-1}+C_p^1{x}^{p-2}+\mathrm{...}{C}_p^{p-1}$, а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на $p$, так как $p|C_p^k=\frac{p(p-1)\mathrm{...}(p-k+1)}{k!}$, а последний коэффициент $C_p^{p-1}=p$ к тому же не делится на $p^2,$ то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
• Многочлен $x^3+4$ над $\mathbb{Q}$ является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что …; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это $p=2$, но 4 делится на $2^2$ — поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.