Лемма Гаусса о приводимости многочленов

Шаблон:Дзт Ле́мма Га́усса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.

Формулировка

Пусть $R$ — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел). Тогда справедливы следующие два утверждения:

• Пусть $a\in R,f,g\in R[x],$ $a$ неприводимо (а значит и просто) в $R$ и делит все коэффициенты произведения $f(x)g(x).$ Тогда $a$ также делит все коэффициенты или многочлена $f(x),$ или многочлена $g(x).$ В частности, если $f(x),g(x)$ — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен $f(x)g(x)$ примитивен;
• Если $Q$ — поле частных кольца $R,$ и если многочлен неприводим в кольце $R[x],$ то он неприводим и в кольце $Q[x].$Более того, если многочлен примитивен в $R[x],$ то верно и обратное.

Оба этих утверждения остаются верными, если вместо факториальных колец рассматривать области целостности, в которых любые два элемента имеют наибольший общий делитель.

Доказательства для факториальных колец

Доказательство 1

Докажем, что если простой элемент $p$ кольца $R$ является общим делителем коэффициентов $f(x)g(x)$, то он делит либо все коэффициенты $f(x),$ либо все коэффициенты $g(x)$.

Пусть $f(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$, $g(x)=b_0+b_{1}x+\dots +b_m{x}^m$, $n=\mathrm{deg}f,m=\mathrm{deg}g$ — степени этих многочленов.

Допустим, что $p$ не делит в совокупности ни коэффициенты $f(x),$ ни $g(x).$ Тогда существуют наименьшие $i,j$ для которых $p\nmid a_i$ и $p\nmid b_j.$

Коэффициент при элементе степени $i+j$ многочлена $f(x)g(x)$ имеет вид:

$\sum _{k<i}{a}_k{b}_{i+j-k}+a_i{b}_j+\sum _{l<j}{a}_{i+j-l}{b}_l.$

В соответствии с выбором $i,j$ элемент $p$ делит все слагаемые в этой сумме, за исключением $a_i{b}_j,$ который он не делит в силу своей простоты и факториальности $R.$ Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если $f(x),g(x)$ примитивны, то их произведение $f(x)g(x)$ — тоже примитивный многочлен.

Пусть теперь $f(x)=f_1(x)f_2(x)$ — факторизация в кольце $Q[x].$ Домножив каждый из $f_1(x),f_2(x)$ на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что $a{f}_1(x)=h_1(x)\in R[x]$ и $b{f}_2(x)=h_2(x)\in R[x]$ и $abf(x)=h_1(x)h_2(x).$

Каждый из простых делителей $ab$ делит все коэффициенты $h_1(x)h_2(x),$ а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце $R[x].$

Доказательство 2

Обозначим $\mathrm{cont}(h):=\gcd (a_0,...,a_n)$, где $a_0,...,a_n$ — коэффициенты многочлена $h$. Тогда первое утверждение леммы Гаусса (его примитивная часть, которая легко распространяется на общий случай) легко приобретает следующий вид: если $\mathrm{cont}(f)\sim 1$ и $\mathrm{cont}(g)\sim 1$, тогда $\mathrm{cont}(f\cdot g)\sim 1$.

Пусть $p$ — простой, который делит $\mathrm{cont}(f\cdot g)$, ради противоречия. Раз у $f\cdot g$ все коэффициенты кратны $p$, то $[f\cdot g]=[0]$ в $R/(p)[x]$.

Так как $p$ — простой, то $R/(p)$ — область целостности и, следовательно, $R/(p)[x]$ — область целостности. Но тогда $[f\cdot g]=[0]$ может быть верно только тогда, когда либо $[f]=[0]$, либо $[g]=[0]$, то есть когда чей-то $\mathrm{cont}$ кратен $p$, что противоречит тому, что все $\mathrm{cont}$ ассоциированы с 1.

См. также

• Теорема Люрота

Литература

• Шаблон:Citation