Критерий согласия Кёйпера

Критерий согласия Кёйпера (также Купера) является развитием критерия согласия Колмогорова и был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида $H_0:F_n(x)=F(x,\theta )$ с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии Кёйпера используется статистика вида: $V_n=D_n^{+}+D_n^{-}$ , где

$D_n^{+}=\max (\frac{i}{n}-F(x_i,\theta ))$ ,   $D_n^{-}=\max (F(x_i,\theta )-\frac{i-1}{n})$ , $i=\overline{1,n}$ ,  

$n$ — объём выборки, $x_1,x_2,...,x_n$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика $\sqrt{n}{V}_n$ в пределе подчиняется распределению:

$G(v)=1-\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}2(4m^2{v}^2-1)e^{-2m^2{v}^2}$ .

Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида

$V=V_n(\sqrt{n}+0,155+0,24/\sqrt{n})$ ,

или модификацию статистики вида

$V_n^{mod}=\sqrt{n}(D_n^{+}+D_n^{-})+1/(3\sqrt{n})$ .

В первом случае отличием распределения статистики от предельного закона можно пренебречь при $n>20$ , во втором — при $n>30$ .

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез вида $H_0:F_n(x)\in \{F(x,\theta ),\theta \in \mathrm{\Theta }\}$ , где оценка $\hat{\theta }$ скалярного или векторного параметра распределения $F(x,\theta )$ вычисляется по той же самой выборке, критерий согласия Кёйпера (как и все непараметрические критерии согласия) теряет свойство свободы от распределения.

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона $F(x,\theta )$ , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе $H_0$; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
• Критерий Андерсона-Дарлинга
• Критерий согласия Пирсона
• Критерий согласия Ватсона