Кулоновская волновая функция

График нерегулярной кулоновской функции G, построенный от 0 до 20 при наличии взаимодействий отталкивания и притяжения (построено в Mathematica 13.1)

График регулярной кулоновской функции на комплексной плоскости

В математике кулоновская волновая функция — это решение уравнения для кулоновских функций, названного в честь Шарля Огюстена де Кулона. Кулоновские функции используются для описания поведения заряженных частиц в кулоновском потенциале и могут быть записаны в терминах Шаблон:Не переведено 5 или Шаблон:Не переведено 5 комплексного аргумента.

Уравнение для кулоновских функций

Уравнение для кулоновских функций для заряженной частицы массы $m$ представляет собой уравнение Шрёдингера в кулоновском потенциале

$(-{\hslash }^2\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2m}+\frac{Z\hslash c\alpha }{r}){\psi }_{\overrightarrow{k}}(\overrightarrow{r})=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}{\psi }_{\overrightarrow{k}}(\overrightarrow{r}),$

где $Z=Z_1{Z}_2$ — произведение зарядов частицы и источника поля (в единицах элементарного заряда, $Z=-1$ для атома водорода), $\alpha$ — постоянная тонкой структуры и ${\hslash }^2{k}^2/(2m)$ — энергия частицы. Решение данного уравнения (т. е. сами кулоновские функции) можно найти, решая уравнение в параболических координатах

$\xi =r+\overrightarrow{r}\cdot \hat{k},\zeta =r-\overrightarrow{r}\cdot \hat{k}(\hat{k}=\overrightarrow{k}/k).$

В зависимости от граничных условий решение принимает различный вид. В частности, решениями уравнения являются функции

${\psi }_{\overrightarrow{k}}^{(\pm )}(\overrightarrow{r})=\mathrm{\Gamma }(1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}),$

где $M(a,b,z)\equiv {}_1{F}_1(a;b;z)$ — Шаблон:Не переведено 5, $\eta =Zmc\alpha /(\hslash k)$, а $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функция. Здесь использованы граничные условия

${\psi }_{\overrightarrow{k}}^{(\pm )}(\overrightarrow{r})\to e^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}\to \pm \mathrm{\infty }),$

соответствующие ориентированным вдоль вектора $\overrightarrow{k}$ плосковолновым асимптотическим состояниям, которые отвечают соответственно моментам до и после приближения частицы к источнику поля в начале координат. Функции ${\psi }_{\overrightarrow{k}}^{(\pm )}$ связаны между собой соотношением

${\psi }_{\overrightarrow{k}}^{(+)}={\psi }_{-\overrightarrow{k}}^{(-)*}.$

Разложение по парциальным волнам

Волновую функцию ${\psi }_{\overrightarrow{k}}(\overrightarrow{r})$ можно разложить по парциальным волнам, при этом мы получим не зависящие от угла радиальные функции $w_{\ell }(\eta ,\rho )$. Здесь и далее $\rho =kr$.

${\psi }_{\overrightarrow{k}}(\overrightarrow{r})=\frac{4\pi }{r}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\ell }^{\ell }{i}^{\ell }{w}_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^m(\hat{r})Y_{\ell }^{m\ast }(\hat{k}).$

Каждый конкретный член разложения можно получить, найдя скалярное произведение волновой функции со сферической функцией, т. е.

${\psi }_{k\ell m}(\overrightarrow{r})=\int {\psi }_{\overrightarrow{k}}(\overrightarrow{r})Y_{\ell }^m(\hat{k})d\hat{k}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^m(\hat{r}),R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }{w}_{\ell }(\eta ,\rho )/r.$

Уравнение для парциальной волны $w_{\ell }(\eta ,\rho )$ можно получить, записав гамильтониан в уравнении для кулоновских функций в сферических координатах и проецируя уравнение на сферическую функцию $Y_{\ell }^m(\hat{r})$

$\frac{d^2{w}_{\ell }}{d{\rho }^2}+(1-\frac{2\eta }{\rho }-\frac{\ell (\ell +1)}{{\rho }^2})w_{\ell }=0.$

Решения данного уравнения называются кулоновскими (парциальными) волновыми функциями или сферическими кулоновскими функциями. Если положить $z=-2i\rho$, то уравнение для кулоновских функций превратится в Шаблон:Не переведено 5, поэтому кулоновские функции могут быть записаны в терминах функций Уиттекера с мнимыми аргументами $M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )$ и $W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )$. Последнюю функцию можно выразить через Шаблон:Не переведено 5 $M$ и $U$. Для $\ell \in \mathbb{Z}$ определим функции

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2{)}^{\ell }{e}^{\pi \eta /2}{e}^{\pm i{\sigma }_{\ell }}{\rho }^{\ell +1}{e}^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho ),$

где

${\sigma }_{\ell }=\arg \mathrm{\Gamma }(\ell +1+i\eta )$

называется кулоновской фазой рассеяния. Также можно определить действительные функции

$F_{\ell }(\eta ,\rho )=\frac{1}{2i}(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )),$

График регулярной кулоновской функции F, построенный от 0 до 20 при наличии взаимодействий отталкивания и притяжения (построено в Mathematica 13.1)

$G_{\ell }(\eta ,\rho )=\frac{1}{2}(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )).$

В частности,

$F_{\ell }(\eta ,\rho )=\frac{2^{\ell }{e}^{-\pi \eta /2}|\mathrm{\Gamma }(\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}{\rho }^{\ell +1}{e}^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho ).$

Асимптотическое поведение кулоновских функций $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$, $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ и $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ при больших $\rho$

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i{\theta }_{\ell }(\rho )},$

$F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin {\theta }_{\ell }(\rho ),$

$G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos {\theta }_{\ell }(\rho ),$

где

${\theta }_{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log (2\rho )-\frac{1}{2}\ell \pi +{\sigma }_{\ell }.$

Решения $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ соответствуют расходящейся и сходящейся сферическим волнам. Решения $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ and $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ являются действительными и называются регулярной и нерегулярной кулоновскими функциями. Справедливо следующее разложение волновой функции ${\psi }_{\overrightarrow{k}}^{(+)}(\overrightarrow{r})$ по парциальным волнам

${\psi }_{\overrightarrow{k}}^{(+)}(\overrightarrow{r})=\frac{4\pi }{\rho }\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\ell }^{\ell }{i}^{\ell }{e}^{i{\sigma }_{\ell }}{F}_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^m(\hat{r})Y_{\ell }^{m\ast }(\hat{k}),$

Свойства кулоновских функций

Радиальные функции с заданным угловым моментом ортогональны. При выборе нормировки на волновое число $k$ радиальные функции континуума удовлетворяют

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{R}_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k^{\prime }\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k^{\prime })$

Другими часто встречающимися нормировками является нормировка на приведённое волновое число ($k/2\pi$-scale)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{R}_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k^{\prime }\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k^{\prime }),$

и также нормировка на энергию

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{R}_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E^{\prime }\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E^{\prime }).$

Радиальные функции, определённые в предыдущем разделе, нормированы следующим образом

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{R}_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k^{\prime }\ell }(r)r^{2}dr=\frac{(2\pi {)}^3}{k^2}\delta (k-k^{\prime })$

как следствие нормировки

$\int {\psi }_{\overrightarrow{k}}^{\ast }(\overrightarrow{r}){\psi }_{{\overrightarrow{k}}^{\prime }}(\overrightarrow{r})d^{3}r=(2\pi {)}^3\delta (\overrightarrow{k}-{\overrightarrow{k}}^{\prime }).$

Кулоновские функции континуума (или рассеяния) также ортогональны по отношению ко всем связанным кулоновским состояниям

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{R}_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0,$

так как являются собственными состояниями одного и того же эрмитова оператора (гамильтониана), имеющими разные собственные значения.

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.