Ламанов граф
Лама́нов граф — граф из семейства разреженных графов, описывающий минимальные Шаблон:Не переведено 5 отрезков и шарниров на плоскости. Формально — ламанов граф с вершинами — это такой граф , что, во-первых, для каждого любой подграф графа , содержащий вершин, имеет не более, чем ребра и, во-вторых, сам граф имеет ровно ребра.
Названы в честь профессора Амстердамского университета Герарда Ламана, который использовал их в 1970 году для описания плоских жёстких структурШаблон:Sfn.
Жёсткость
Ламановы графы возникают в Шаблон:Не переведено 5 следующим образом: если разместить вершины Ламанова графа на евклидовой плоскости так, чтобы они находились в общем положении и двигать вершины так, чтобы длины всех рёбер оставались неизменными, то это движение с необходимостью будет евклидовой изометрией. Более того, любой минимальный граф, обладающий таким свойством, с необходимостью является Ламановым. С интуитивной точки зрения понятно, что каждое ребро графа уменьшает степень свободы соответствующей ему шарнирно-стержневой системы на единицу. Поэтому 2n −3 рёбер в Ламановом графе уменьшают 2n степеней свободы системы из n вершин до трёх, что соответствует изометрическому преобразованию плоскости. Граф является жёстким в этом смысле тогда и только тогда, когда он содержит Ламанов подграф, содержащий все вершины графа. Таким образом, Ламановы графы являются минимальными жёсткими графами и формируют базис двухмерных Шаблон:Не переведено 5.
Если заданы n точек плоскости, существует 2n степени свободы в их расположении (каждая точка имеет две независимые координаты), но жёсткий граф имеет только три степени свободы (расположение одной точки и поворот вокруг этой точки). Интуитивно ясно, что добавление ребра фиксированной длины в граф сокращает степень свободы на единицу так, что 2n − 3 рёбер Ламанова графа уменьшает 2n степеней свободы начального расположения до трёх степеней свободы жёсткого графа. Однако не всякий граф с 2n − 3 рёбрами является жёстким. Условие в определении Ламанова графа, что никакой подграф не содержит слишком много рёбер, гарантирует, что каждое ребро реально вносит свой вклад в общее уменьшение степени свободы, а не является частью подграфа, который уже является жёстким благодаря другим своим рёбрам.
Планарность
Ламановы графы связаны также с понятием Шаблон:Не переведено 5. Известно, что каждая псевдотриангуляция является Ламановым графом и наоборот, каждый плоский Ламанов граф может быть реализован как псевдотриангуляция.Шаблон:Sfn Однако следует иметь в виду, что имеются непланарные Ламановы графы, например, полный двудольный граф .
Разреженность
Штрейну и ТеранШаблон:Sfn определяют граф как -разреженный, если любой непустой подграф с вершинами имеет максимум рёбер, и -плотный, если он -разреженный и имеет в точности рёбер. Таким образом, в этой нотации, Ламановы графы — это в точности (2,3)-плотные графы, и подграфы Ламановых графов — это в точности (2,3)-разреженные графы. Ту же самую нотацию можно использовать для описания других важных семейств разреженных графов, включая деревья, псевдолеса и графы с ограниченной древесностью.Шаблон:Sfn
Построение Хенненберга
Задолго до работы Ламана, Лебрехт Хеннеберг (Lebrecht Henneberg) описал двухмерные минимальные жёсткие графы (то есть, графы Ламана) различными способамиШаблон:Sfn. Хенненберг показал, что минимальные жёсткие графы с двумя и более вершинами — это в точности графы, которые можно получить, начав с единичного ребра, используя операции двух видов:
- Добавляется новая вершина вместе с рёбрами, соединяющими её с двумя уже существующими вершинами.
- Ребро разбивается и добавляется новое ребро, соединяющее вновь появившуюся вершину с существующей.
Последовательность таких операций, которая формирует заданный граф, называется построением Хенненберга. Построение Хенненберга веретена Мозера показано на картинке. Другой пример: полный двудольный граф может быть построен сначала применением первой операции для построения треугольника, и затем применением трёх операций второго типа для разбиения каждой стороны треугольника.