Лемма Безиковича о покрытиях

Лемма Безиковича о покрытиях — классический результат комбинаторной геометрии важный в теории меры и близкий к лемме Витали.

Доказана Абрамом Безиковичем в 1945 году.

Формулировка

Для любого натурального $n$ существует такое натуральное $M=M(n)$, что верно следующее. Пусть $𝔅$ — произвольное множество замкнутых шаров в ${ℝ}^n$ с радиусами не больше 1. Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров ${𝔅}^{\prime }\subset 𝔅$, такой что центр любого шара из $𝔅$ принадлежит хотя бы одному шару из ${𝔅}^{\prime }$ и при этом семейство ${𝔅}^{\prime }$ можно разбить на $M$ подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.

Замечания

Восемь попарно пересекающихся кругов не содержащих центры друг друга.

• Можно предположить, что $M(n)=5^n$.
• Оптимальная константа не известна даже для плоскости; нижняя оценка 8 (следует из примера на рисунке) и верхняя 19.

Применения

Область применений леммы Безиковича близка к области применений леммы Витали. Но лемма Безиковича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств, включая евклидово пространство, в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер $\mu$ обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы $C$ и произвольного шара $B$ имеем

$\mu (2\cdot B)\le C\cdot \mu (B)$.

Вариации и обобщения

• Достаточным условием для выполнения леммы Безиковича в метрическом пространстве является так называемая ограниченность по направлениям. Это свойство ввёл в рассмотрение Герберт Федерер.

Литература

• С. В. Иванов, Введение в геометрическую теорию меры лекции 2008.
• Шаблон:Citation.
  • Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.