Лемма Витали о покрытиях

Сверху изначальное семейство шаров. Зелёным выделены непересекающиеся шары, синим — все остальные. Ниже та же диаграмма, в которой зелёные шары утроены — заметим, что они покрывают все голубые шары.

Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Витали о покрытиях, но также представляет самостоятельный интерес. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Витали.

Формулировка

Конечная версия

Пусть $B_1,\dots ,B_n$ — конечный набор шаров, содержащихся в d-мерном евклидовом пространстве R^d (или, в более общем случае, в произвольном метрическом пространстве). Тогда существует подмножество $B_{j_1},B_{j_2},\dots ,B_{j_m}$ из этих шаров, в котором шары попарно не пересекаются, и выполняется

$B_1\cup B_2\cup \dots \cup B_n\subseteq 3B_{j_1}\cup 3B_{j_2}\cup \dots \cup 3B_{j_m},$

где $3B_{j_k}$ обозначает шар с тем же центром, что и у $B_{j_k}$, но с утроенным радиусом.

Бесконечная версия

Пусть $\{B_j\mid j\in J\}$ — произвольный (счётный или несчётный) набор шаров в R^d (или, более общо, в метрическом пространстве), такой что

$sup\{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(B_j)\mid j\in J\}<\mathrm{\infty },$

где $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(B_j)$ обозначает радиус шара B_j. Тогда для любого $k>3$ существует счётное подмножество

$\{B_j\mid j\in J{\text{'}}_k\},J{\text{'}}_k\subset J,$

попарно непересекающихся шаров, таких что

$\bigcup _{j\in J}{B}_j\subseteq \bigcup _{j\in J{\text{'}}_k}k{B}_j.$

Замечания

• В бесконечной версии лемма перестаёт быть верной, если радиусы не ограничены: например, это неверно для бесконечного набора концентрических шаров с целыми положительными радиусами.
• В самом общем случае, для произвольного метрического пространства, выбор максимальной непересекающейся подколлекции шаров требует некоторой формы леммы Цорна.

Следствия

• В любом конечном наборе шаров $n$-мерного евклидова пространства с объёмом объединения $V$, можно выбрать поднабор пересекающихся между собой шаров с общим объёмом не менее $\frac{1}{3^n}\cdot V$.
  • Коэффициент $\frac{1}{3^n}$ не является оптимальным и оптимальное значение не известно.

Вариации и обобщения

• Вместо шаров можно брать другие области с довольно слабыми условиями.
• Лемма Безиковича — аналог леммы Витали. Она применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств включая евклидово пространство в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер $\mu$ обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы $C$ и произвольного шара $B$ имеем

  $\mu (2\cdot B)\le C\cdot \mu (B)$

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Книга