Лемма Гронуолла — Беллмана

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка

Пусть

• $u(t)\ge 0$
• $f(t)\ge 0$
• $u(t),f(t)\in C[t_0,\mathrm{\infty }),$

при этом для $t\ge t_0$ выполняется неравенство:

$u(t)\le c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)u(t_1)d{t}_1,(1)$

где $c$ — положительная константа.

Тогда при $t\ge t_0$ имеем оценку:

$u(t)\le c\cdot \exp \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)d{t}_1.(2)$

Доказательство

Из неравенства (1) получим:

$\frac{u(t)}{c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)u(t_1)d{t}_1}\le 1$

и

$\frac{f(t)u(t)}{c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)u(t_1)d{t}_1}\le f(t),(3)$

А так как

$\frac{d}{dt}[c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)u(t_1)d{t}_1]=f(t)u(t),$

то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от $t_0$ до $t$, получим:

$\ln [c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)u(t_1)d{t}_1]-\ln c\le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)d{t}_1.$

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

$u(t)\le c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)u(t_1)d{t}_1\le c\exp \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(t_1)d{t}_1,$

что и требовалось доказать.

Усиленная лемма Гронуолла

Пусть функция $u(x)$ неотрицательна и непрерывна в промежутке $[x_0,x_0+h]$ и удовлетворяет там неравенству: $0⩽u(x)⩽A+B\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}u(t)dt+\epsilon (x-x_0),A⩾0,B⩾0,\epsilon ⩾0$. Тогда при $x\in [x_0,x_0+h]$ справедливо неравенство: $u(x)⩽A{e}^{B(x-x_0)}+\frac{\epsilon }{B}(e^{B(x-x_0)}-1)$.

Ссылки

• PlanetMath
• Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.