Лемма Лебега

Ле́мма Лебе́га — даёт полезное свойство открытых покрытий компактных метрических пространств.

Названа в честь французского математика Анри Лебега.

Формулировка

Для любого открытого покрытия $P$ компактного метрического пространства $X$ существует число $\lambda >0$ такое, что любое подмножество диаметра $<\lambda$ в $X$ содержится хотя бы в одном элементе покрытия $P$.

Замечания

• Число $\lambda$ называется числом Лебега покрытия $P$.
• Для некомпактных метрических пространств это утверждение неверно, возможно даже построить двухэлементное покрытие вещественной прямой, для которого нет ни одного числа Лебега.