Лемма Соллертинского

Ле́мма Соллерти́нского — утверждение проективной геометрии.

Шаблон:Рамка Пусть $P$ — произвольная точка и $f$ — проективное преобразование. Тогда множество точек пересечения $l$ и $f(l)$, где $l$ — прямая, проходящая через $P$, есть коника, проходящая через точки $P$ и $f(P).$ Шаблон:Конец рамки

История

Лемма названа в честь петербургского математика Н. Соллертинского, использовавшего её при доказательстве теоремы Сонда́ в 1896 году. На самом деле это утверждение было известно до Соллертинского; приписывается оно ещё Якобу Штейнеру.

Частные случаи, обобщения и следствия

• Если $f$ — движение плоскости, сохраняющее ориентацию фигур, то полученная коника будет окружностью. Это равносильно теореме о вписанном угле.
• Если $f$ — движение плоскости, изменяющее ориентацию фигур, то полученная коника будет равносторонней гиперболой. Это следует из того, что описанная коника проходит через ортоцентр треугольника тогда и только тогда, когда она является равносторонней гиперболой.
• Двойственное к лемме Соллертинского утверждение звучит так: Шаблон:Рамка

Пусть $l$ — произвольная прямая и $f$ — проективное преобразование. Тогда все прямые $Pf(P)$, где $P$ — точка, лежащая на $l$, касаются коники, касающейся прямых $l$ и $f(l).$ Шаблон:Конец рамки

• Обратно, всякое гармоническое соответствие двух прямых на плоскости (соответствие между их точками, сохраняющее двойные отношения) получается таким образом: выбирается коника $Q$, касающаяся обеих прямых $\ell ,{\ell }^{\prime }$, в точке $x\in \ell$ проводится касательная к $Q$, отличная от $\ell$, и берется точка ее пересечения с ${\ell }^{\prime }$.
• Если $\ell ,{\ell }^{\prime }$ — две скрещивающиеся прямые в пространстве, и $f:\ell \to {\ell }^{\prime }$ — соответствие, сохраняющее двойные отношения, то прямая $xf(x)$ заметает некую квадрику. Они будут составлять одно из двух семейств прямых на ней, а $\ell$ и ${\ell }^{\prime }$ будут относиться к другому семейству.

Гипербола Киперта

• Пусть на сторонах произвольного треугольника $ABC$ построили во внешнюю (внутреннюю) сторону подобные равнобедренные треугольники $AB{C}^{\prime }$, $AC{B}^{\prime }$, $BC{A}^{\prime }$. Тогда прямые $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной гиперболе, проходящей через центроид и ортоцентр — гиперболе Киперта.
• Если два треугольника ортологичны, причём центры ортологии совпадают, то они перспективны.
  • Это утверждение Соллертинский использовал при доказательстве теоремы Сонда.
  • Из него также следует, что если два треугольника полярны, то они перспективны.