Лемма Ферма

Лемма Ферма́ — одно из базовых утверждений классического анализа: производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Выдвинуто Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах; у Ньютона этот факт упоминался как «принцип остановки»: «когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад».

В современной нотации для функции $f:M\subset ℝ\to ℝ$, имеющей во внутренней точке области определения $x\in M^0$ локальный экстремум и имеющей односторонние производные $f{\text{'}}_{+}(x_0),f{\text{'}}_{-}(x_0)$ (конечные или бесконечные), утверждение формулируется следующим образом:

• если $x_0$ — точка локального максимума, то

  $f{\text{'}}_{+}(x_0)⩽0,f{\text{'}}_{-}(x_0)⩾0$;

• если $x_0$ — точка локального минимума, то

  $f{\text{'}}_{+}(x_0)⩾0,f{\text{'}}_{-}(x_0)⩽0$.

В частности, если функция $f$ имеет в $x_0$ производную, то $f^{\prime }(x_0)=0$.

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует, что это точка экстремума (вместо этого она может быть точкой перегиба).

Примеры

Для $f(x)=|x|$ точка $x=0$ — локальный минимум, и:

$f{\text{'}}_{+}(0)=1⩾0$, $f{\text{'}}_{-}(0)=-1⩽0$

(при этом сама функция не является дифференцируемой в точке $x=0$).

Для $f(x)=x^2$ точка $x=0$ — локальный минимум, и $f^{\prime }(0)=0$.

Для $f(x)=x^3$ производная в нуле обращается в нуль ($f^{\prime }(0)=0$), но точка $x=0$ не является точкой локального экстремума.