Линейность по параметрам

Лине́йность по пара́метрам — свойство экономических моделей, позволяющее рассматривать их с эконометрической точки зрения (с точки зрения оценки параметров) как линейные модели.

Определение

Модель $g_0(y)=f(x,b)+\epsilon$ называется линейной по параметрам $b$, если функция регрессии $f(x,b)$ обладает свойством:

$\mathrm{\forall }j\frac{\partial f}{\partial b_j}=g_j(x)$

где $g_0,g_j$ — некоторые (вообще говоря — нелинейные) функции, не содержащие неизвестных параметров

Поскольку вторые и более высокого порядка производные по параметрам равны в этом случае нулю, то разложение функции регрессии в ряд Тейлора по параметрам приводит к следующему линейному представлению:

$f(x,b)=\sum _{j=1}^k{b}_j{g}_j(x)+\epsilon$

Если обозначить $z_0=g_0(y),z_j=g_j(x)$, то получаем обычную линейную регрессию относительно новых переменных.

$z_0=\sum _{j=1}^k{b}_j{z}_j+\epsilon$

Линеаризация

Многие нелинейные модели можно представить в форме, линейной по параметрам. Соответствующий процесс преобразования модели называется линеаризацией. Для линеаризации может использоваться логарифмирование и иные приёмы. Пусть имеется следующая нелинейная модель (производственная функция Кобба — Дугласа):

$y=A{K}^{\alpha }{L}^{\beta }\nu$

где $\nu$ — мультипликативная случайная компонента.

Логарифмируя это выражение, получим линейную по параметрам модель:

$\ln y=\ln A+\alpha \ln K+\beta \ln L+\ln \nu =a+\alpha \ln K+\beta \ln L+\epsilon$

Важно отметить, что линеаризуемость модели связана также со способом присоединения случайной компоненты в исходной модели. Например, модель $y=A{K}^{\alpha }{L}^{\beta }+\epsilon$ линеаризовать нельзя. Часто случайную ошибку присоединяют специально именно таким образом, чтобы модель можно было линеаризовать.

Примеры

Полиномиальная модель

$y=\sum _{j=0}^k{b}_j{x}^j+\epsilon$

Полиномиальные модели используются для предварительной аппроксимации данных исходя из известной теоремы о приближении любых функций полиномами.

Логарифмическая регрессия

$\ln y=\sum _{j=1}^k{b}_j\ln x_j+\epsilon$

Это модель с постоянной эластичностью зависимой переменной по факторам.

Обратная линейная модель

$\frac{1}{y}=\sum _{j=0}^k{b}_j\frac{1}{x_j}+\epsilon$