Линейно-квадратичный регулятор

Линейно-квадратичный регулятор (Шаблон:Lang-en) — в теории управления один из видов оптимальных регуляторов, использующий квадратичный функционал качества. Задача, в которой динамическая система описывается линейными дифференциальными уравнениями, а показатель качества представляет собой квадратичный функционал, называется задачей линейно-квадратичного управления. Широкое распространение получили линейно-квадратичные регуляторы (LQR) и линейно-квадратичные гауссовы регуляторы (LQG).

Случай непрерывных систем

Для непрерывных линейных систем, описываемых в пространстве состояний системой уравнений

$\dot{x}=A(t)x+B(t)u$

с критерием оптимальности

$J=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x^{T}Q(t)x+u^{T}R(t)u)dt,$

закон управления по отрицательной обратной связи, найденный по LQR-алгоритму, должен минимизировать указанный критерий оптимальности. Этот закон управления имеет вид

$u=-R^{-1}{B}^{T}Px,$

где $P$ находится из решения уравнения РиккатиШаблон:SfnШаблон:Sfn

$A^{T}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{T}P+Q=-\dot{P}.$

Случай дискретных систем

Для дискретных линейных систем, описываемых в пространстве состояний системой уравнений

$x_{k+1}=A{x}_k+B{u}_k$

с критерием оптимальности

$J=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(x_k^{T}Q{x}_k+u_k^{T}R{u}_k),$

закон управления по отрицательной обратной связи, найденный по LQR-алгоритму, должен минимизировать критерий оптимальности

$u_k=-F{x}_k,$

где

$F={\tilde{R}}^{-1}{B}^{T}P,$

$\tilde{R}=R+B^{T}PB,$

где $P$ — решение дискретного уравнения РиккатиШаблон:Sfn

$P=Q+A^T(P-PB{(R+B^{T}PB)}^{-1}{B}^{T}P)A.$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Линейно-квадратичный регулятор в Wolfram ResearchШаблон:Ref-en