Лоренцево сокращение

Шаблон:СТО с блоками Лоренцево сокращение, Фицджеральдово сокращение, также называемое релятивистским сокращением длины движущегося тела или масштаба, — предсказываемый релятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы и пространство имеют меньшую длину (линейные размеры) в направлении движения, чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.

Эффект значим, только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.

Строгое определение

Пусть стержень покоится в инерциальной системе отсчёта K и расстояние между концами стержня, измеренное в К («собственная» длина стержня), равно l. Пусть далее стержень движется вдоль своей длины со скоростью v относительно некой другой (инерциальной) системы отсчёта K'. В таком случае расстояние l' между концами стержня, измеренное в системе отсчета K', составит

$l^{\prime }=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}l$ , где c — скорость света.

При этом расстояния поперёк движения одинаковы в обеих системах отсчета K и K'.

Величина Шаблон:Math, обратная множителю с корнем, называется также Лоренц-фактором. С её использованием эффект можно сформулировать и так: время пролёта стержня мимо фиксированной точки системы отсчёта K' составит

$T^{\prime }=\frac{1}{\gamma }\frac{l}{v}$ .

Вывод

Преобразования Лоренца

Сокращение длины может быть выведено из преобразований Лоренца несколькими способами:

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\gamma (x-vt),\\ t^{\prime }& =\gamma (t-vx/c^2).\end{array}$

Через известную длину движущегося объекта

Пусть в инерциальной системе отсчета К $x_1$ и $x_2$ обозначают концы движущегося объекта. Тогда его длина $L$ определяется через одновременное положение концов $t_1=t_2$. Собственную длину объекта в К'-системе можно рассчитать через преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из К в К' приводит к различающемуся времени. Но это не проблема, так как объект покоится в К'-системе, и не имеет значения, в какой момент времени произведены измерения. Поэтому достаточно сделать преобразования пространственных координат, что дает:

$x{\text{'}}_1=\gamma (x_1-v{t}_1),x{\text{'}}_2=\gamma (x_2-v{t}_2).$

Поскольку $t_1=t_2$, то, положив $L=x_2-x_1$ и $L_0^{\text{'}}=x_2^{\text{'}}-x_1^{\text{'}}$, собственная длина в К'-системе, получается

$L_0^{\text{'}}=L\cdot \gamma .\text{(1)},$

В соответствии с этим измеренная длина в К-системе получается уменьшенной

$L=L_0^{\text{'}}/\gamma .\text{(2)}$

В соответствии с принципом относительности объекты, покоящиеся в К-системе, будут также уменьшены в К'-системе. Поменяв симметрично нештрихованные и штрихованные обозначения:

$L_0=L^{\prime }\cdot \gamma .\text{(3)}$

Тогда уменьшенная длина, измеряемая в К'-системе:

$L^{\prime }=L_0/\gamma .\text{(4)}$

Через известную собственную длину

Если объект покоится в К-системе и известна его собственная длина, то одновременность измерений концов объекта в К'-системе необходимо рассчитать, потому что объект постоянно меняет свою позицию. В таком случае необходимо преобразовать и пространственные, и временные координаты:

$\begin{array}{cccccc}{x}_1^{\text{'}}& =\gamma (x_1+v{t}_1),& & & x_2^{\text{'}}& =\gamma (x_2+v{t}_2)\\ t_1^{\text{'}}& =\gamma (t_1+v{x}_1/c^2),& & & t_2^{\text{'}}& =\gamma (t_2+v{x}_2/c^2).\end{array}$

Так как $t_1=t_2$ и $L_0=x_2-x_1$, получаемые результаты не одновременны:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }& =\gamma L_0\\ \mathrm{\Delta }{t}^{\prime }& =\gamma v{L}_0/c^2\end{array}$

Для получения одновременных положений концов необходимо вычесть из $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }$ расстояние, пройденное вторым концом со скоростью $v$ в течение времени $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ :

$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }& =\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }-v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }\\ & =\gamma L_0-\gamma v^2{L}_0/c^2\\ & =L_0/\gamma \end{array}$

Таким образом, движущаяся длина в К'-системе уменьшилась. Точно так же можно рассчитать симметричный результат для объекта, покоящегося в К'-системе

$L=L_0^{\text{'}}/\gamma$.

Объяснение

Сокращение длин возникает из-за свойств псевдоевклидовой геометрии пространства Минковского, аналогичных удлинению сечения, например, цилиндра, когда оно проводится не строго поперёк оси, а косо. Говоря иначе, «один и тот же момент времени» с точки зрения системы отсчёта, где стержень движется, не будет являться одним и тем же моментом с точки зрения системы отсчёта, связанной со стержнем. То есть процедура измерения расстояния в одной системе отсчёта с точки зрения любой другой системы отсчёта является не процедурой измерения чистого расстояния, когда положения, например, концов стержня засекаются в один и тот же момент времени, а смесью измерения пространственного расстояния и промежутка времени, которые вместе составляют инвариантный, то есть не зависящий от системы отсчёта, пространственно-временной интервал.

Реальность сокращения длины

Диаграмма Минковского мысленного эксперимента Эйнштейна 1911 года, изображающая сокращение длины. В результате движения двух стержней с длиной покоя $A^{\prime }{B}^{\prime }=A^{″}{B}^{″}=L_0$ со скоростью 0,6c в противоположных направлениях видно, что $A^{\ast }{B}^{\ast }<L_0$ .

В 1911 году Шаблон:Не переведено 5 утверждал, что, согласно Лоренцу, сокращение длины воспринимается объективно, в то время как, по мнению Эйнштейна, это «всего лишь кажущееся субъективное явление, вызванное способом упорядочивания наших часов и измерением длин». Эйнштейн опубликовал опровержение: Шаблон:Цитата Эйнштейн также утверждал в этой статье, что сокращение длины — это не просто результат произвольных определений, касающихся способа упорядочивания часов и измерения длин. Он предложил следующий мысленный эксперимент: Пусть A'B' и A"B" будут концами двух стержней одинаковой длины L₀, измеренных на x' и x" соответственно. Пусть они движутся в противоположных направлениях вдоль оси x*, рассматриваемой в состоянии покоя, с одинаковой по отношению к ней скоростью. Затем концевые точки A'A" встречаются в точке A*, а B'B" встречаются в точке B*. Эйнштейн показал, что длина A*B* короче, чем A'B 'или A''B'', что также можно продемонстрировать, остановив один из стержней по отношению к этой оси.

Значение для физики

Лоренцево сокращение лежит в основе таких эффектов, как парадокс Эренфеста и парадокс Белла, показывающих непригодность понятий классической механики к СТО. Они показывают невозможность, соответственно, раскрутить и придать ускорение гипотетическому «абсолютно твёрдому телу».

Литература

• Физическая энциклопедия, т.2 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.608-609.

См. также

• Форма релятивистских объектов
• Прецессия Томаса
• Релятивистское замедление времени
• Парадокс шеста и сарая