Матрицант

Матрица́нт — фундаментальная матрица $X (t)$ решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

x^{'} (t) = A (t) x (t), x (t) \in ℝ^{n}, A (t)

— однопараметрическое семейство матриц.

нормированная в точке $t_{0}$ . (Также матрицантом иногда называют матрицу Коши системы дифференциальных уравнений.)

Матрицант является единственным непрерывным решением матричной задачи Коши

X^{'} = A (t) X

,

X (t_{0}) = I

(

I

если матричная функция $A (t)$ локально суммируема на некотором интервале.

Любое решение $x (t)$ системы записывается в виде $x (t) = X (t) x (t_{0})$ .

Представление в виде ряда

Для матрицанта справедливо разложение в ряд

X (t) = I + \int_{t_{0}}^{t} A (t_{1}) d t_{1} + \int_{t_{0}}^{t} A (t_{1}) \int_{t_{0}}^{t_{1}} A (t_{2}) d t_{2} d t_{1} + \dots =

= I + \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} < t} \prod_{k = 1}^{n} A (t_{k}) \prod_{k = 1}^{n} d t_{k}

Если матрица $A (t)$ удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского:

[\int_{t_{0}}^{t} A (s) d s, A (t)] = 0,

где $[\cdot, \cdot]$ — коммутатор, то матрицант примет вид:

X (t) = e^{\int_{t_{0}}^{t} A (s) d s}

В общем случае решение может быть записано через T-экспоненту:

X (t) = T e x p (\int_{t_{0}}^{t} A (s) d s)

Определитель матрицанта является определителем Вронского фундаментальной нормированной системы решений соответствующего дифференциального уравнения. Для него справедлива формула Лиувилля-Остроградского

W_{n} (t) = \det X (t) = e^{\int_{t_{0}}^{t} t r A (s) d s}

Тогда с учётом $x (t) = X (t) x (t_{0})$ формула Лиувилля-Остроградского для определителя Вронского произвольной системы решений примет вид:

W (t) = W (t_{0}) e^{\int_{t_{0}}^{t} t r A (s) d s} .

Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.