Матрица Коши (дифференциальные уравнения)

В математике матрицей Коши (также импульсная функция, матрицант) системы дифференциальных уравнений

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t)$, $x(t)\in {ℝ}^n$, $t\in (t_1,t_2)$,

называется матрица

$C(t,s)=X(t)X(s{)}^{-1}$, $(t;s)\in (t_1,t_2)\times (t_1,t_2)$

где $X(t)$ — матрицант данной системы (нормировка: $X(t_0)=I$, $t_0\in (t_1,t_2)$).

(Иногда не $X(t)$, а саму матрицу Коши называют матрицантом.)

Решение систем неоднородных дифференциальных линейных уравнений

Матрица Коши используется для представления с её помощью решений систем неоднородных дифференциальных линейных уравнений. Любое решение неоднородной системы:

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t)+B(t),x(t)\in {ℝ}^n,t\in (t_1,t_2),$

где $B(t)\in {ℝ}^n$ — локально суммируемая функция на $(t_1,t_2),$ может быть представлено через матрицу Коши однородной системы:

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t),x(t)\in {ℝ}^n,t\in (t_1,t_2),$

в виде:

$x(t)=X(t)x(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}C(t,s)B(s)ds,t\in (t_1,t_2).$

Свойства

• $C(t,s)$ непрерывна в $(t_1,t_2)\times (t_1,t_2)$
• Для любых t, s и r принадлежащих интервалу $(t_1,t_2)$ верны следующие утверждения:
  1. $C(t,s)=C(t,t_0)C(s,t_0{)}^{-1}$
  2. $C(t,s)=C(t,r)C(r,s)$
  3. $C(s,t)=C(t,s{)}^{-1}$
  4. $C(t,t)=I$
  5. Если $C_{*}(t,s)$ — матрица сопряжённой системы

     $x^{\prime }(t)=-A^{*}(t)x(t)$, $x(t)\in {ℝ}^n$,

     то

     $C_{*}(t,s)=(C(t,s{)}^{*}{)}^{-1}$

  6. $|C(t,s)|⩽e^{\underset{s}{\overset{t}{\int }}|A(r)|dr},s⩽t,$

     где $|\cdot |$ — норма матрицы.

Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

В случае $A(t)=A=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ матрицант равен

$X(t)=e^{A(t-t_0)}$,

где $e^{As}$ — матричная экспонента, следовательно, матрица Коши:

$C(t,s)=e^{A(t-s)}$,

$C(t,s)=X(t-s)$,

таким образом, в этом случае для получения матрицы Коши достаточно подставить (t - s) в качестве аргумента матрицанта.

Общее решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A(t-s)}B(s)ds,t\in (t_1,t_2).$

Литература

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• Шаблон:Книга