Матрицы Кравчука

Матрицы Кравчука — матрицы, элементами которых являются значения многочленов Кравчука в неотрицательных целых точках.

$K_{ij}^{(n)}={\mathrm{\Sigma }}_k(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{i-k})$

Примеры нескольких первых матриц:

$K^{(0)}=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]K^{(1)}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]K^{(2)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& -2\\ 1& -1& 1\end{array}\right]K^{(3)}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 3& 1& -1& -3\\ 3& -1& -1& 3\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right]$

$K^{(4)}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 4& 2& 0& -2& -4\\ 6& 0& -2& 0& 6\\ 4& -2& 0& 2& -4\\ 1& -1& 1& -1& 1\end{array}\right]K^{(5)}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 5& 3& 1& -1& -3& -5\\ 10& 2& -2& -2& 2& 10\\ 10& -2& -2& 2& 2& -10\\ 5& -3& 1& 1& -3& 5\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1\end{array}\right]$

$K^{(6)}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 6& 4& 2& 0& -2& -4& -6\\ 15& 5& -1& -3& -1& 5& 15\\ 20& 0& -4& 0& 4& 0& -20\\ 15& -5& -1& 3& -1& -5& 15\\ 6& -4& 2& 0& -2& 4& -6\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1\end{array}\right].$

В общем виде, для произвольного положительного n, элементы матрицы $K_{ij}^{(n)}$ могут быть вычислены при помощи функции

$(1+v{)}^{n-j}(1-v{)}^j=\sum _i{v}^i{K}_{ij}^{(n)}$

где целые индексы i и j изменяются от 0 до n.

Ссылки

• Полиномы Кравчука