Многочлены Кравчука

Шаблон:Ортогональные многочлены 2 Многочлены Кравчука (М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму: $\sum_{x = 0}^{N} k_{n}^{(p)} (x) k_{m}^{(p)} (x) σ (x) = d_{n}^{2}, δ_{m, n}$ .

Здесь $σ (x) = (\binom{N}{x}) p^{x} q^{N - x}$ — весовая функция, $d_{n} = \sqrt{(\binom{N}{n}) (p q)^{n}}$ — квадратичная норма, $0 < p < 1, 0 < q < 1, p + q = 1$ . Для $p = q = 1 / 2$ весовая функция с точностью до постоянного множителя $1 / 2^{N}$ сводится к биномиальному коэффициенту.

Рекуррентное соотношение для этих многочленов имеет вид $(n + 1) k_{n + 1}^{(p)} (x) + p q (N - n + 1) k_{n - 1}^{(p)} (x) = [x + n (p - q) - p N] k_{n}^{(p)} (x)$ .

Путём несложных преобразований его можно привести к форме

$f_{n + 1} \frac{k_{n + 1}^{(p)} (x)}{d_{n + 1}} + f_{n} \frac{k_{n - 1}^{(p)} (x)}{d_{n - 1}} = (r x + ε n + Δ) \frac{k_{n}^{(p)} (x)}{d_{n}}$ ,

где

$f_{n} = \sqrt{\frac{n (N + 1 - n)}{N}}, r = \frac{1}{\sqrt{p q N}}, ε = r (p - q), Δ = - r p N .$

Многочлены Кравчука могут быть выражены через гипергеометрическую функцию Гаусса:

$k_{n}^{(p)} (x) = (- 1)^{n} (\binom{N}{n}) p^{n}_{2} F_{1} (- n, - x; - N; 1 / p)$

В пределе при $N \to \infty$ многочлены Кравчука переходят в многочлены Эрмита:

$\lim \limits_{N \to \infty} {(2 / N p q)}^{n / 2} n!; k_{n}^{(p)} (N p + \sqrt{2 N p q}, x) = H_{n} (x)$

Первые четыре полинома для простейшего случая $p = q = 1 / 2$ :

$𝒦_{0} (x, N) = 1$
$𝒦_{1} (x, N) = - 2 x + N$
$𝒦_{2} (x, N) = 2 x^{2} - 2 N x + (\binom{N}{2})$
$𝒦_{3} (x, N) = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 N x^{2} - (N^{2} - N + \frac{2}{3}) x + (\binom{N}{3})$

Литература

Sur une généralisation des polynomes d’Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622 — статья, в которой впервые введены многочлены Кравчука; по ссылке доступны французский оригинал и переводы на английский и русский языки.
А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
Krawtchouk Polynomials Home Page — сайт, посвященный многочленам Кравчука, содержит, в частности, обширную библиографию.

См. также

Шаблон:Rq Шаблон:Ортогональные многочлены

Многочлены Кравчука

Литература

См. также

Навигация

Поиск