Матричная оптика

Матричная оптика - математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Принцип

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть $y_1$ — "высота" луча над главной оптической осью системы, $v_1$ — приведенный угол: $v_1=n\times \alpha$, где $\alpha$ — угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n — показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
$\left[\begin{array}{c}{y}_2\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ v_1\end{array}\right]$,

где $\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$ — матрица оптической системы, также именуемая матрица передачи луча.

Определитель матрицы оптической системы равен отношению показателей преломления на входе и на выходе системы, обычно это отношение равно 1. Матричное преобразование — это приближенное линейное описание системы. Оно работает, в частности, когда выполняется параксиальное приближение.

Матрицы простейших оптических систем

Сферическая преломляющая поверхность

$M=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\mathrm{\Phi }}_1& 1\end{array}\right]$, ${\mathrm{\Phi }}_1=\frac{n_2-n_1}{R}$, где $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления среды (Подразумевается, что луч переходит из среды с $n_1$ в среду с $n_2$), R — алгебраический радиус кривизны сферической поверхности (R > 0 для выпуклой поверхности, когда сонаправлены падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности, и R < 0 для вогнутой поверхности).

Сферическое зеркало

$M=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\mathrm{\Phi }}_2& 1\end{array}\right]$, ${\mathrm{\Phi }}_2=-\frac{2\cdot n}{R}$, где $n$ — показатель преломления среды, R — алгебраический радиус кривизны (см. выше).

Трансляция

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
$M=\left[\begin{array}{cc}1& T\\ 0& 1\end{array}\right]$, $T=\frac{d}{n}$, d — длина трансляции, n — показатель преломления.

Применение метода

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е. $M=M_n\times \cdot \cdot \cdot \times M_2\cdot M_1$, где $M_i$ - матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.
Оптическая сила оптической системы:
$\mathrm{\Phi }=-C$
$B=0,y_2=A\cdot y_1$ - общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом

Пусть линза с радиусами кривизны $R_1,R_2$ (для определенности - двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов - двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем:

$M_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\mathrm{\Phi }}_1& 1\end{array}\right]$
$M_2=\left[\begin{array}{cc}1& T\\ 0& 1\end{array}\right]$
$M_3=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\mathrm{\Phi }}_2& 1\end{array}\right]$
Матрица всей оптической системы:
$M=M_3\cdot M_2\cdot M_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\mathrm{\Phi }}_2& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& T\\ 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\mathrm{\Phi }}_1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1-T{\mathrm{\Phi }}_1& T\\ T{\mathrm{\Phi }}_1{\mathrm{\Phi }}_2-{\mathrm{\Phi }}_1-{\mathrm{\Phi }}_2& 1-T{\mathrm{\Phi }}_2\end{array}\right]$
Отсюда оптическая сила толстой линзы:
$\mathrm{\Phi }=-C={\mathrm{\Phi }}_1+{\mathrm{\Phi }}_2-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_1{\mathrm{\Phi }}_2}{n}$
Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:
$\mathrm{\Phi }=-C={\mathrm{\Phi }}_1+{\mathrm{\Phi }}_2$
С учетом ${\mathrm{\Phi }}_1=\frac{n-1}{R_1},{\mathrm{\Phi }}_2=\frac{n-1}{R_2}$
, получаем известную формулу для оптической силы линзы: $\mathrm{\Phi }=(n-1)\cdot (\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})$.

Литература

• Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.
• Салех Б.Е.А., Тейх М.К. Оптика и фотоника. Принципы и применения. Пер. с англ.: Учебное пособие. В 2 т. Долгопрудный: Интеллект, 2012. — 1544 с. — Раздел 1.4, стр. 50-68.