Мера иррациональности

Мера иррациональности действительного числа $α$ — это действительное число $μ$ , показывающее, насколько хорошо $α$ может быть приближено рациональными числами.

Определение

Пусть $α$ — действительное число, и пусть $M (α)$ — множество всех чисел $μ$ таких, что неравенство $0 < | α - \frac{p}{q} | < \frac{1}{q^{μ}}$ имеет лишь конечное число решений в целых числах $p$ и $q > 0$ :

M (α) = {μ > 0 : (\exists q_{0} = q_{0} (μ, α)) (\forall p, q \in ℤ) q > q_{0} \Rightarrow | α - \frac{p}{q} | > \frac{1}{q^{μ}} \lor | α - \frac{p}{q} | = 0} .

Тогда мера иррациональности $μ (α)$ числа $α$ определяется как точная нижняя грань $M (α)$ :

μ (α) = inf M (α) .

Если $M (α) = \emptyset$ , то полагают $μ (α) = + \infty$ .

Другими словами, $μ$ — наименьшее число, такое, что для любого $ε > 0$ для всех рациональных приближений $\frac{p}{q}$ с достаточно большим знаменателем верно, что $| α - \frac{p}{q} | > \frac{1}{q^{μ + ε}}$ .

Возможные значения меры иррациональности

$μ (α) = 1$ тогда и только тогда, когда $α$ — рациональное число.
Если $α$ — алгебраическое иррациональное число, то $μ (α) = 2$ .
Если $α$ — трансцендентное число, то $μ (α) ⩾ 2$ . В частности, если $μ (α) = + \infty$ , то число $α$ называют лиувиллевым числом.

Связь с цепными дробями

Если $α = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots]$ — разложение числа $α$ в цепную дробь, и $\frac{p_{n}}{q_{n}}$ — $n$ -ая подходящая цепная дробь, то

μ (α) = 1 + \underset{n \to + \infty}{lim sup} \frac{\ln q_{n + 1}}{\ln q_{n}} = 2 + \underset{n \to + \infty}{lim sup} \frac{\ln a_{n + 1}}{\ln q_{n}} .

С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения $φ = [1; 1, 1, \dots]$ , и тогда $μ (φ) = 2$ .

Теорема Туэ — Зигеля — Рота

По лемме Дирихле, если $α$ иррационально, то существует бесконечное количество таких p и q, что $| α - \frac{p}{q} | < \frac{1}{q^{2}}$ , то есть $μ (α) ⩾ 2$ . В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа $α$ степени $n$ можно подобрать константу $c = c (α)$ такую, что $| α - \frac{p}{q} | ⩾ \frac{c}{q^{n}}$ . В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют Шаблон:Нп5. Она утверждает, что если $α$ — алгебраическое иррациональное число, то $μ (α) = 2$ . За это доказательство Рот получил Филдсовскую премию.