Метод Чаплыгина

Ме́тод Чаплы́гина (также известен как метод двухсторонних приближений) — метод приближённого решения дифференциальных уравнений с заданной степенью точности, который был предложен С. А. Чаплыгиным и основывается на теореме Чаплыгина. Метод предназначен для решения задачи Коши для системы ОДУ первого порядка (либо для одного ОДУ порядка выше первого) и состоит в построении двух семейств барьерных решений, последовательно приближающихся к точному решению системы.

Описание метода

Основная идея

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешённое относительно высшей производной:

$y^{(n)}-f(x,y,y^{\prime },y^{″},...,y^{(n-1)})=0$.

Тогда требуется найти две функции $z=z(x)$ и $u=u(x)$, равные искомому интегралу в точке $x_0$ и, на некотором прилегающем к этой точке участке, удовлетворяющие неравенству $u<y<z$. Можно сказать, что функции $z$ и $u$ совпадают со сторонами AB и AC криволинейного треугольника ABC (абсцисса точки A — $x_0$), внутри которого проходит функция $y(x)$, причём расстояние между B и C должно быть сравнительно невелико.

Алгоритм (для уравнения первого порядка)

Требуется решить уравнение $y^{\prime }-f(x,y)=0$, причём функция $f(x,y)$ удовлетворяет условию Липшица.

1. Найдём две функции $z_0$ и $u_0$ такие, что в точке $x_0$ они являются решениями уравнения и на некотором полуинтервале $(x_0,b]$ выполняется:
   ${u_0}^{\prime }-f(x,u_0)<0$;
   ${z_0}^{\prime }-f(x,z_0)>0$.
   Эти функции будем считать первым приближением решения.
2. Пусть нам уже известно некоторое приближённое решение $z_i$ и $u_i$, тогда следующим приближением будут функции:
   $h(x)={u_i}^{\prime }(x)-f(x,u_i(x))$;
   $u_{i+1}(x)=u_i(x)-\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-L(x-t)}h(t)dt$;
   $g(x)={z_i}^{\prime }(x)-f(x,z_i(x))$;
   $z_{i+1}(x)=z_i(x)-\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-L(x-t)}g(t)dt$.
   Здесь L — константа Липшица для функции $f(x,y)$.
   
   Если дополнительно выполняется условие сохранения знака второй частной производной функции $f(x,y)$ по $y$ в области $(x,y)\in ([x_0,b],[u_i(x),z_i(x)])$, то следующее приближение может быть найдено другим методом: построим две поверхности $\mathrm{\Phi }(x,y)$ и $\varphi (x,y)$, одна из которых образована прямыми, проходящими через точки пересечения $f(x,y)$ с $u_i(x)$ и $z_i(x)$ при фиксированном $x$, а вторая касательными к ней, проведёнными под минимальным углом к плоскости OXY параллельно оси OY, причём $\mathrm{\Phi }(x,y)⩾f(x,y)⩾\varphi (x,y)$. Тогда функции $z_{i+1}$ и $u_{i+1}$ могут быть получены путём решения двух линейных дифференциальных уравнений:
   $z_{i^{\prime }+1}=\mathrm{\Phi }(x,z_{i+1})$; $u_{i^{\prime }+1}=\varphi (x,u_{i+1})$

Сходимость

Метод Чаплыгина представляет собой обобщение метода Ньютона для решения ОДУ, следовательно, начиная с некоторого n, $z_n-u_n⩽C/2^{2^n}$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга