Метод гиперболы Дирихле

Метод гиперболы Дирихле — используемая в теории чисел техника вычисления суммы вида:

$\sum _{n⩽x}f(n)$,

где $f$ — мультипликативная функция.

Названа в связи с использованием свёртки Дирихле — применяется для функции $f$, представленной как свёртка $f=g*h$ пары мультипликативных арифметических функций $g$ и $h$:

$\sum _{n⩽x}f(n)=\sum _{n⩽x}\sum _{ab=n}g(a)h(b)=\sum _{a⩽\sqrt{x}}\sum _{b⩽\frac{x}{a}}g(a)h(b)+\sum _{b⩽\sqrt{x}}\sum _{a⩽\frac{x}{b}}g(a)h(b)-\sum _{a⩽\sqrt{x}}\sum _{b⩽\sqrt{x}}g(a)h(b)$.

Например, для функции числа делителей $\tau =1*1$:

$\sum _{n⩽x}\tau (n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O(\sqrt{x})$,

где $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони.