Метод непосредственного применения правил Кирхгофа

Метод непосредственного применения правил Ки́рхгофа для расчета электрической цепи заключается в составлении системы из В уравнений с В неизвестными (B — количество ветвей в рассматриваемой цепи) по двум правилам Кирхгофа и последующем их решении.

Описание метода расчета

Рассмотрим расчёт электрической цепи, не содержащей источников тока. Рассматриваемая цепь состоит из В ветвей и У узлов. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить (У — 1) независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа и К = (В — У + 1) независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми (то есть содержащими хотя бы одну ветвь, не принадлежащую другим узлам/контурам).

Для решения составленной системы линейных алгебраических уравнений можно воспользоваться матричной формой

$AI=BE$,

где

$A$ и $B$ — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка B;

$I$ и $E$ — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Решение системы:

$I=A^{-1}BE=GE$,

$A^{-1}$	$={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1B}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2B}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{B1}& a_{B2}& \cdots & a_{BB}\end{array}\right]}^{-1}=$
	$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}{\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Delta }}_{11}& {\mathrm{\Delta }}_{12}& \cdots & {\mathrm{\Delta }}_{1B}\\ {\mathrm{\Delta }}_{21}& {\mathrm{\Delta }}_{22}& \cdots & {\mathrm{\Delta }}_{2B}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathrm{\Delta }}_{B1}& {\mathrm{\Delta }}_{B2}& \cdots & {\mathrm{\Delta }}_{BB}\end{array}\right]}^T=$
	$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Delta }}_{11}& {\mathrm{\Delta }}_{21}& \cdots & {\mathrm{\Delta }}_{B1}\\ {\mathrm{\Delta }}_{12}& {\mathrm{\Delta }}_{22}& \cdots & {\mathrm{\Delta }}_{B2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathrm{\Delta }}_{1B}& {\mathrm{\Delta }}_{2B}& \cdots & {\mathrm{\Delta }}_{BB}\end{array}\right]$

— обратная матрица; $\mathrm{\Delta }$ — определитель матрицы A; ${\mathrm{\Delta }}_{ik}$ — алгебраические дополнения элементов $a_{ik}$ (см. способы нахождения обратной матрицы).

$G=A^{-1}B=\left[\begin{array}{cccc}{g}_{11}& g_{12}& \cdots & g_{1B}\\ g_{21}& g_{22}& \cdots & g_{2B}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ g_{B1}& g_{B2}& \cdots & g_{BB}\end{array}\right]$

— матрица собственных $g_{ii}$ и взаимных $g_{ik}$ проводимостей (см. метод наложения).

$\{\begin{array}{c}{I}_1=g_{11}{E}_1+g_{12}{E}_2+\cdots +g_{1B}{E}_B;\\ I_2=g_{21}{E}_1+g_{22}{E}_2+\cdots +g_{2B}{E}_B;\\ ⋮\\ I_B=g_{B1}{E}_1+g_{B2}{E}_2+\cdots +g_{BB}{E}_B;\end{array}$

— система уравнений, определяющих токи ветвей.

Зачастую при расчёте цепей подобным методом возникает необходимость составления большого количества уравнений и последующего расчёта матриц большого порядка. Поэтому на практике применяются и другие методы расчёта.

Пример использования метода

Эквивалентная схема электрической цепи

В качестве примера рассмотрим расчёт цепи, схема которой показана на рисунке — она содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, то есть К = В − У + 1 = 3 − 2 + 1 = 2 независимых контура (на рисунке контуры отмечены пунктирной линией — можно выбрать любую пару из них — 1 и 2, или 2 и 3, или 1 и 3).

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей $I_1$, $I_2$, $I_3$ (на рисунке направления уже отмечены). По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У − 1 = 2 − 1 = 1) независимое уравнение, например для узла a

$-I_1-I_2+I_3=0$,

и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например, для контуров 1 и 2

$r_1{I}_1+r_3{I}_3=E_1+E_2$;

$r_2{I}_2+r_3{I}_3=E_2+E_3$.

Представим систему из этих трёх уравнений в матричной форме:

$\begin{array}{cc}Y-1& \{\\ K& \{\begin{array}{c}\\ \end{array}\end{array}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ r_1& 0& r_3\\ 0& r_2& r_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\\ I_3\end{array}\right]=AI=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_1\\ E_2\\ E_3\end{array}\right]=BE$

или

$\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\\ I_3\end{array}\right]$	$={\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ r_1& 0& r_3\\ 0& r_2& r_3\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_1\\ E_2\\ E_3\end{array}\right]=$
	$=\frac{1}{-(r_1{r}_2+r_1{r}_3+r_2{r}_3)}{\left[\begin{array}{ccc}-r_2{r}_3& -r_1{r}_3& r_1{r}_2\\ -(r_2+r_3)& r_3& -r_2\\ r_3& -(r_1+r_3)& -r_1\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_1\\ E_2\\ E_3\end{array}\right]=$
	$=\frac{1}{r^2}\left[\begin{array}{ccc}{r}_2{r}_3& r_2+r_3& -r_3\\ r_1{r}_3& -r_3& r_1+r_3\\ -r_1{r}_2& r_2& r_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_1\\ E_2\\ E_3\end{array}\right]=$
	$=\frac{1}{r^2}\left[\begin{array}{ccc}{r}_2+r_3& -r_3& r_2\\ -r_3& r_1+r_3& r_1\\ r_2& r_1& r_1+r_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_1\\ E_2\\ E_3\end{array}\right]=[G][E].$

Теперь составим систему уравнений токов:

$\{\begin{array}{c}{I}_1=g_{11}{E}_1+g_{12}{E}_2+g_{13}{E}_3;\\ I_2=g_{21}{E}_1+g_{22}{E}_2+g_{23}{E}_3;\\ I_3=g_{31}{E}_1+g_{32}{E}_2+g_{33}{E}_3,\end{array}$

где

$g_{11}=(r_2+r_3)/r^2$;

$g_{22}=(r_1+r_3)/r^2$;

$g_{33}=(r_1+r_2)/r^2$;

$g_{12}=g_{21}=-r_3/r^2$;

$g_{13}=g_{31}=r_2/r^2$;

$g_{23}=g_{32}=r_1/r^2$;

$r=\sqrt{r_1{r}_2+r_1{r}_3+r_2{r}_3}$.

Расчёт цепей с источниками тока

При расчёте схем замещения с источниками тока возможны упрощения, поскольку токи ветвей с источниками тока известны, и рассчитывать их не нужно. Поэтому число независимых контуров (без источников тока), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно К = (В — В${}_J$ — У + 1), где В${}_J$ — число ветвей с источниками тока.

Литература

• Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6