Метод характеристик

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применён и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Принцип

Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти кривые (именуемые характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Примеры

Квазилинейное уравнение на плоскости

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции $u(x,y)$

$a(x,y,u)\cdot u_x+b(x,y,u)\cdot u_y=c(x,y,u).$

Рассмотрим поверхность $z=u(x,y)$ в ${ℝ}^3$. Нормаль к этой поверхности задается выражением

$(u_x(x,y),u_y(x,y),-1).$

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))$

является касательным к поверхности $z=u(x,y)$ в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде:

$\frac{dx}{a(x,y,z)}=\frac{dy}{b(x,y,z)}=\frac{dz}{c(x,y,z)},$

или же, если x(t), y(t), z(t) суть функции параметра t:

$\begin{array}{ccc}\frac{dx}{dt}& =& a(x,y,z)\\ \frac{dy}{dt}& =& b(x,y,z)\\ \frac{dz}{dt}& =& c(x,y,z).\end{array}$

То есть поверхность $z=u(x,y)$ образована однопараметрическим семейством описанных кривых. Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю $(a,b,c)$.

Уравнение переноса

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

$a\cdot u_x+u_t=0$

где $a$ постоянная, а $u$ — функция переменных $x$ и $t$.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

$\frac{d}{ds}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))$,

где $(x(s),t(s))$ — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

$\frac{d}{ds}u(x(s),t(s))=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{ds}+\frac{\partial u}{\partial t}\frac{dt}{ds}$

Теперь, если положить $\frac{dx}{ds}=a$ и $\frac{dt}{ds}=1$, получим

$a\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t}$, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

$\frac{d}{ds}u=a\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t}=0.$

Как видно, вдоль характеристики $(x(s),t(s))$ исходное уравнение превращается в ОДУ $u_s=F(u,x(s),t(s))=0$, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, $u(x_s,t_s)=u(x_0,0)$, где точки $(x_s,t_s)$ и $(x_0,0)$ лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

• $\frac{dt}{ds}=1$, при $t(0)=0$ решение — $t=s$,
• $\frac{dx}{ds}=a$, при $x(0)=x_0$ решение — $x=as+x_0=at+x_0$,
• $\frac{du}{ds}=0$, при $u(0)=f(x_0)$ решение — $u(x(t),t)=f(x_0)=f(x-at)$.

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном $a$, и решение $u$ остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Постановка задачи Коши

Для выбора частного решения из общего необходимо поставить задачу Коши, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальное условие задается на начальной гиперповерхности S:

$u{|}_S=f(x)$

В общем случае почти невозможно сформулировать условие глобальной разрешимости задачи Коши, однако если ограничиться условием локальной разрешимости, можно воспользоваться следующей теоремой:

Решение задачи Коши в окрестности точки

$x_0\in S$

существует и единственно, если проходящая через

$x_0$

характеристика трансверсальна поверхности S

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation