Метод k ближайших соседей

Пример классификации методом $k$ ближайших соседей: тестовый образец (зелёный круг) должен быть классифицирован как синий квадрат (класс 1) или как красный треугольник (класс 2); если $k=3$, то он классифицируется как 2-й класс, потому что внутри меньшего круга 2 треугольника и только 1 квадрат; если $k=5$, то он будет классифицирован как 1-й класс (3 квадрата против 2 треугольников внутри большего круга)

Метод $k$ ближайших соседей (Шаблон:Lang-en, k-NN) — метрический алгоритм для автоматической классификации объектов или регрессии.

В случае использования метода для классификации объект присваивается тому классу, который является наиболее распространённым среди $k$ соседей данного элемента, классы которых уже известны. В случае использования метода для регрессии, объекту присваивается среднее значение по $k$ ближайшим к нему объектам, значения которых уже известны.

Алгоритм может быть применим к выборкам с большим количеством атрибутов (многомерным). Для этого перед применением нужно определить функцию расстояния; классический вариант такой функции — евклидова метрика.

Нормализация

Разные атрибуты могут иметь разный диапазон представленных значений в выборке (например атрибут А представлен в диапазоне от 0,1 до 0,5, а атрибут Б представлен в диапазоне от 1000 до 5000), то значения дистанции могут сильно зависеть от атрибутов с бо́льшими диапазонами. Поэтому данные обычно подлежат нормализации. При кластерном анализе есть два основных способа нормализации данных: минимакс-нормализация и Z-нормализация.

Минимакс-нормализация осуществляется следующим образом:

$x^{\prime }=(x-\min [X])/(\max [X]-\min [X])$,

в этом случае все значения будут лежать в диапазоне от 0 до 1; дискретные бинарные значения определяются как 0 и 1.

Z-нормализация:

$x^{\prime }=(x-M[X])/\sigma [X]$,

где $\sigma$ — среднеквадратичное отклонение; в этом случае большинство значений попадёт в диапазон $(-3\sigma ;3\sigma )$.

Выделение значимых атрибутов

Некоторые значимые атрибуты могут быть важнее остальных, поэтому для каждого атрибута может быть задан в соответствие определённый вес (например вычисленный с помощью тестовой выборки и оптимизации ошибки отклонения). Таким образом, каждому атрибуту $k$ будет задан в соответствие вес $z_k$, так что значение атрибута будет попадать в диапазон $[0;z_k\max (k)]$ (для нормализованных значений по минимакс-методу). Например, если атрибуту присвоен вес 2,7, то его нормализованно-взвешенное значение будет лежать в диапазоне $[0;2,7].$

Взвешенный способ

При взвешенном способе во внимание принимается не только количество попавших в область определённых классов, но и их удалённость от нового значения.

Для каждого класса $j$ определяется оценка близости:

$Q_j=\sum _{i=1}^n\frac{1}{d(x,a_i{)}^2}$,

где $d(x,a_i)$ — расстояние от нового значения $x$ до объекта $a_i$.

У какого класса выше значение близости, тот класс и присваивается новому объекту.

С помощью метода можно вычислять значение одного из атрибутов классифицируемого объекта на основании дистанций от попавших в область объектов и соответствующих значений этого же атрибута у объектов:

$x_k=\frac{\sum _{i=1}^n{k}_{i}d(x,a_i{)}^2}{\sum _{i=1}^{n}d(x,a_i{)}^2}$,

где $a_i$ — $i$-й объект, попавший в область, $k_i$ — значение атрибута $k$ у заданного объекта $a_i$, $x$ — новый объект, $x_k$ — $k$-й атрибут нового объекта.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• kNN и Потенциальная энергия (апплет), Е. М. Миркес и университет Лейстера. Апплет позволяет сравнивать два метода классификации.
• Daniel T. Larose, Discovering Knowledge in Data: An Introduction to Data Mining (https://web.archive.org/web/20140531051709/http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471666572.html)