Многогранник Ньютона

Многогранник Ньютона — многогранник с целочисленными вершинами в n-мерном евклидовом пространстве, который строится по многочлену от n переменных.

Конструкция

Предположим

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum a_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\dots x_n^{i_n}$

есть многочлен от n переменных. Обозначим через $I$ множество всех мультииндексов $i_1,\dots ,i_n$ таких, что $a_{i_1,\dots ,i_n}\ne 0$. По определению многочлена $I$ конечно.

Выпуклая оболочка

$N_f=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}I\subset {ℝ}^n$

называется многогранником Ньютона многочлена $f$.

Свойства

• Типичное число ненулевых решений системы полиномиальных уравнений $f_1=\dots =f_n=0$ равно

  $n!\cdot V(N_1,\dots ,N_n),$

где $N_i$ многогранник Ньютона многочлена $f_i$ и $V(N_1,\dots ,N_n)$ — их смешанный объём.

Вариации и обобщения

• Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогичная конструкция для типичных линейных комбинаций данных многочленов.

Литература

• Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
• Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, Ideas of Newton-Okounkov bodies, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach, No. 8/2015: