Смешанный объём

Смешанный объём — числовая характеристика набора из $n$ выпуклых тел в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Смешанный объём набора $K_1,K_2,\dots ,K_n$ обычно обозначается

$V(K_1,K_2,\dots ,K_n)$.

Определение

Пусть $K_1,K_2,\dots ,K_n$ набор из $n$ выпуклых тел в ${ℝ}^n$ и ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ положительные вещественные числа. Обозначим через $v({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ объём тела

${\lambda }_1\cdot K_1+{\lambda }_2\cdot K_2+\dots +{\lambda }_n\cdot K_n,$

где «$+$» обозначает сумму Минковского и

${\lambda }_i\cdot K_i=\{\lambda \cdot x\mid x\in K_i\}.$

Функция $v({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ является однородным многочленом степени $n$. Коэффициент этого многочлена при ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot \dots \cdot {\lambda }_n$ по определению равен $n!\cdot V(K_1,K_2,\dots ,K_n)$.

Заметим, что

$v({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n=1}^{n}V(K_{i_1},K_{i_2},\dots ,K_{i_n})\cdot {\lambda }_{i_1}\cdot {\lambda }_{i_2}\cdot \dots \cdot {\lambda }_{i_n}.$

Свойства

• Для произвольных неотрицательных чисел ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$,

  $V({\lambda }_1\cdot K_1,{\lambda }_2\cdot K_2,\dots ,{\lambda }_n\cdot K_n)={\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot \dots \cdot {\lambda }_n\cdot V(K_1,K_2,\dots ,K_n)$

• Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
• Смешанный объём монотонен по включению тел.
• Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
• Смешанный объём неотрицателен.
  • Более того, $V(K_1,K_2,\dots ,K_n)>0$ тогда и только тогда, когда в каждом $K_i$ можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
• Для неотрицательного целого $k\le n$ смешанный объём $n-k$ копий выпуклого тела $K$ в ${ℝ}^n$ и $k$ копий единичного шара выражается через $k$-тую среднюю поперечную меру $K$. В частности
  • Смешанный объём набора из $n$ копий $K$ равен обычному объёму $K$.
  • Смешанный объём набора из $n-1$ копий $K$ и единичного шара равен $\frac{1}{n}$ площади поверхности $K$.
• Типичное число решений системы полиномиальных уравнений $f_1=f_2=\dots =f_n=0$ равно смешанному объёму многогранников Ньютона $f_i$.
• неравенство Минковского

  $V^n(K,L,\dots ,L)\ge V(K)\cdot V^{n-1}(L)$

• неравенство Александрова — Фенхеля

  $V(K_1,K_2,K_3,\dots ,K_n)\ge \sqrt{V(K_1,K_1,K_3,\dots ,K_n)\cdot V(K_2,K_2,K_3,\dots ,K_n)}.$

См. также

• Теорема Хадвигера

Литература

• Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.