Многочлены Полачека

Многочлены Полачека — последовательность многочленов $P_n^{\lambda }(x;\phi ),\lambda >0,0<\phi <\pi ,n=\{0,1,...\}$, которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году.

Рекурсивное определение

$P_{-1}^{\lambda }=0$

$P_0^{\lambda }=1$

$n{P}_n^{\lambda }-2((n-1+\lambda )\cos \phi +x\sin \phi )P_{n-1}^{\lambda }+(n-2+2\lambda )P_{n-2}^{\lambda }=0$

Свойства

• Симметричные многочлены Полачека $(P_n^{\lambda }(x;\pi /2))$ ортогональны на всей вещественной оси с весом:

$\frac{1}{2\pi }\frac{2^{2\lambda }}{\mathrm{\Gamma }(2\lambda )}{|\mathrm{\Gamma }(\lambda +ix)|}^2$, где $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция Эйлера

• Аналог формул Родрига для многочленов Полачека:

$P_n^{\lambda }(x;\pi /2)G(\lambda ,x)=\frac{{-1}^n}{n!}{\delta }^{n}G(\lambda +\frac{n}{2})$, где $G(\lambda ,x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\lambda +ix)}{\mathrm{\Gamma }(1-\lambda +ix)}{e}^{\pi x}$ — мероморфная функция, а $\delta$ — оператор конечной разности $(\delta F)(x)=F(x+\frac{i}{2})-F(x-\frac{i}{2})$

Литература

• Шаблон:Статья