Многочлены Роджерса

Шаблон:Distinguish Многочлены Роджерса, называемые также многочленами Роджерса — Аски — Исмаила и непрерывными q-ультрасферическими многочленами, — это семейство ортогональных многочленов, которые ввёл Леонард Джеймс РоджерсШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn в течение работ над Шаблон:Не переведено 5. Они являются q-аналогами ультрасферических многочленов и являются Шаблон:Не переведено 5 для специального случая A₁ Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Sfn.

Аски и Исмаил в 1983Шаблон:Sfn и Гаспер и Рахман в 2004Шаблон:Sfn обсуждали свойства многочленов Роджерса в деталях.

Определение

Многочлены Роджерса можно определить в терминах убывающего символа Похгаммера и Шаблон:Не переведено 5

C_{n} (x; β | q) = \frac{(β; q)_{n}}{(q; q)_{n}} e^{i n θ}_{2} ϕ_{1} (q^{- n}, β; β^{- 1} q^{1 - n}; q, q β^{- 1} e^{- 2 i θ})

,

где x = cos(θ).