Многочлены Шура

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от $n$ переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму $n$ неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем $n$ столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы $S_n$.

Формальное определение

Многочлен Шура, соответствующий разбиению $\lambda ,$ равен

$s_{\lambda }(x_1,\dots ,x_n)=\frac{\det (x_i^{{\lambda }_j+n-j}{)}_{i,j=1}^n}{\det (x_i^{n-j}{)}_{i,j=1}^n}.$

Также имеются формулы, выражающие многочлены Шура через элементарные симметрические многочлены $e_r$ и полные симметрические многочлены $h_r$:

$s_{\lambda }(x_1,\dots ,x_n)=det(h_{{\lambda }_i-i+j}{)}_{1\le i,j\le n}$, где $n\ge l(\lambda )$,

$s_{\lambda }(x_1,\dots ,x_n)=det(e_{\lambda {\text{'}}_i-i+j}{)}_{1\le i,j\le m}$, где ${\lambda }^{\prime }$ - сопряжённое к $\lambda$ разбиение, а также $m\ge l({\lambda }^{\prime })$.

В частности, $s_{(n)}=h_n$ и $s_{(1^n)}=e_n$.

Связь с представлениями симметрической группы

Многочлен Шура $s_{\lambda }(x_1,\dots ,x_n)$, соответствующий диаграмме Юнга $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона $p_k(x_1,\dots ,x_n)=\sum _j{x}_j^k$ с коэффициентами, выражающимися через значения характера ${\chi }_{\lambda }$, соответствующего $\lambda$ представления симметрической группы $S_n$. А именно,

$s_{\lambda }=\sum _{\rho =(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots )}{\chi }^{\lambda }(\rho )\cdot \prod _k\frac{p_k^{r_k}}{r_k!},$

где запись $\rho =(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots )$ означает, что в классе сопряжённости $\rho$ в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется $r_j$ циклов длины $j$.