Многочлен Эрара

Многочленом Эрара для заданного многогранника в многомерном пространстве называется многочлен, значение которого в любой целой точке $t>0$ совпадает с количеством целых точек пространства (вообще говоря, точек любой решётки), находящихся внутри данного многогранника, увеличенного в $t$ раз.

Объём самого многогранника (с коэффициентом гомотетии $k=1$) равен старшему коэффициенту многочлена Эрара, что можно рассматривать как вариант многомерного обобщения теоремы Пика.

Названы в честь Шаблон:Iw, который изучал их в 1960-х годах.

Определение

Пусть $P$ — многогранник с целыми вершинами, и $t\cdot P$ — его гомотетия с целым коэффициентом $t$. Обозначим через $L_P(t)$ число целых точек в $t\cdot P$. Можно доказать, что число $L_P(t)$ выражается как многочлен от $t$; этот многочлен и называется многочленом Эрара.

Примеры

• $L_Q(t)=(t+1{)}^d$ для единичного целого $d$-мерного куба $Q$.

Свойства

• (Взаимность Эрара — Макдональда) Число внутренних целых точек в $t\cdot P$ равно

  $(-1{)}^d\cdot L_P(-t),$

где Шаблон:Math — размерность Шаблон:Math.

• Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и $\mathrm{S}\mathrm{L}(n,\mathbb{Z})$, выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрара.

• Для любого $d$-мерного многогранника $P$, три коэффициента многочлена Эрара имеют простую интерпретацию
  • свободный член многочлена Эрара равен 1.
  • Главный коэффициент при $t^d$ равен объёму многогранника.
  • Коэффициент при $t^{d-1}$ равен половине суммы отношений площадей граней к определителю решётки, получаемой пересечением целочисленных точек с продолжением грани.
• В частности, при $d=2$ многочлен Эрара многоугольника равен

  $S\cdot t^2+\frac{\mathrm{\Gamma }}{2}\cdot t+1,$

где $S$ есть площадь многоугольника, а $\mathrm{\Gamma }$ — число целочисленных точек на его границе. Подставив $t=1$, получаем формулу Пика.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Публикация