Формула Пика

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.

Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Формулировка

В = 7, Г = 8,
В + Г/2 − 1 = 10

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна $\text{В}+\frac{\text{Г}}{2}-1$, где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Следствия

• Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
  • Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби.

Вариации и обобщения

Контрпример к аналогу теоремы Пика в размерности 3.

• Многочлен Эрара даёт один из вариантов обобщения формулы Пика на старшие размерности.

• Если все грани целочисленного многогранника $M$ центрально симметричны (в частности если многогранник является зонэдром) то его объём может быть вычислен по формуле

  $V(M)=\frac{1}{4\pi }\cdot \sum _v\alpha (v),$

где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам $v\in M$ и $\alpha (v)$ телесный угол $M$ при $v$; если $v$ лежит внутри $M$, то считается что $\alpha (v)=4\cdot \pi$.

• Аналогичное утверждение верно и в $n$-мерном евклидовом пространстве ${𝔼}^n$

$V(M)=\frac{1}{{\omega }_n}\cdot \sum _v\alpha (v),$

где ${\omega }_n$ обозначает площадь единичной сферы в ${𝔼}^n$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья