Многочлен узла

Многие многочлены узла вычисляются с помощью скейн-соотношения, которые позволяют путём изменения типа пересечения свести узел к более простому.

В теории узлов многочлен узла — это инвариант узла в виде многочлена, коэффициенты которого кодируют некоторые свойства данного узла.

История

Первый многочлен узла, многочлен Александера, представлен Джеймсом Александером в 1923 году, но другие многочлены узла найдены лишь почти 60 лет спустя.

В 1960-х годах Джон Конвей предложил скейн-соотношения для версии многочлена Александра, который обычно упоминается как многочлен Александера — Конвея. Важность скейн-соотношений не была оценена до 1980-х годов, когда Вон Джонс открыл многочлен Джонса. Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY.

Вскоре после открытия Джонса Шаблон:Нп3 заметил, что многочлен Джонса может быть вычислен в терминах модели сумм состояний, которая использует скобки Кауффмана, инвариант Шаблон:Нп3 узлов. Это открыло широкую дорогу для исследований в области теории зацепления узлов и статистической механике.

В конце 1980-х годов совершено два прорыва: Эдвард Виттен продемонстрировал, что многочлен Джонса и похожие инварианты этого типа описаны в теории Черна — Саймонса; Виктор Васильев и Шаблон:Нп3 создали теорию Шаблон:Нп3 узлов. Известно, что коэффициенты упомянутых многочленов имеют конечный тип (возможно, после некоторой «подстановки переменных»).

В 2003 году показано, что многочлен Александера связан с Шаблон:Нп3. Градуированная эйлерова характеристика Шаблон:Нп3 Ожвата и Сабо является многочленом АлександераШаблон:Sfn.

Пример

Запись Александера — Бриггса	Многочлен Александера $\mathrm{\Delta }(t)$	Многочлен Конвея$\mathrm{\nabla }(z)$	многочлен Джонса $V(q)$	Многочлен HOMFLY$H(a,z)$
$0_1$ (Тривиальный узел)	$1$	$1$	$1$	$1$
$3_1$ (Трилистник)	$t-1+t^{-1}$	$z^2+1$	$q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}$	$-a^4+a^2{z}^2+2a^2$
$4_1$ (Восьмёрка)	$-t+3-t^{-1}$	$-z^2+1$	$q^2-q+1-q^{-1}+q^{-2}$	$a^2+a^{-2}-z^2-1$
$5_1$ (Лапчатка)	$t^2-t+1-t^{-1}+t^{-2}$	$z^4+3z^2+1$	$q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}$	$-a^6{z}^2-2a^6+a^4{z}^4+4a^4{z}^2+3a^4$
$-$ (Бабий узел)	${(t-1+t^{-1})}^2$	${(z^2+1)}^2$	${(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})}^2$	${(-a^4+a^2{z}^2+2a^2)}^2$
$-$ (Прямой узел)	${(t-1+t^{-1})}^2$	${(z^2+1)}^2$	$(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^3-q^4)$	$(-a^4+a^2{z}^2+2a^2)\times$ $(-a^{-4}+a^{-2}{z}^{-2}+2a^{-2})$

Запись Александера — Бриггса — это нотация, перечисляющая узлы по их числу пересечения, при этом обычно предполагается, что в списке находятся только простые узлы (Смотрите Шаблон:Нп3).

Заметим, что многочлен Александера и многочлен Конвея НЕ МОГУТ различить левый и правый трилистники.

• 
  Левый трилистник.
• 
  Правый трилистник.

Не различают они также бабий узел и прямой узел, поскольку композиция узлов в ${ℝ}^3$ даёт произведение многочленов узлов.

См. также

Полиномы узла

• Многочлен Александера
• Скобка Кауффмана
• Многочлен HOMFLY
• Полином Джонса
• Многочлен Кауфмана

Связанные темы

• Скейн-соотношение для формального определения многочлена Александера.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья