Множество раздела

Множество раздела точки $p$ в римановом многообразии $M$ — подмножество точек ${\mathrm{C}}_p\subset M$, через которые не проходит ни одна кратчайшая из $p$.

Множество раздела также называется катлокус, от Шаблон:Lang-en.

Примеры

• Множество раздела точки $p$ стандартной сферы состоит из точки, противоположной $p$.
• Множество раздела точки на поверхности бесконечного кругового цилиндра — прямая, параллельная оси цилиндра, проходящая по поверхности цилиндра со стороны, противоположной выбранной точке.

Свойства

• Множество раздела — замкнутое множество.
• Множество раздела имеет нулевой объём.
• Подмножество $M\mathrm{\setminus }{\mathrm{C}}_p$ диффеоморфно шару.
• Если между точками $p$ и $q$ существуют две различные кратчайшие, то $p\in {\mathrm{C}}_q$ и $q\in {\mathrm{C}}_p$.
• Если $p\in {\mathrm{C}}_q$ и кратчайшая $\gamma$ между точками $p$ и $q$ единственна, то они являются сопряжёнными на продолжении $\gamma$.
• Если $M$ — аналитическое риманово многообразие, то множество раздела ${\mathrm{C}}_p$ допускает локально конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы.
  • Без аналитичности $M$ множество ${\mathrm{C}}_p$ может быть даже нетриангулируемым.
• Расстояние от точки до её множества раздела равно радиусу инъективности этой точки.

См. также

• Срединная ось

Литература

• Шаблон:Книга