Модель Мэнкью — Ромера — Вейла

Грегори Мэнкью

Моде́ль Мэ́нкью — Ро́мера — Ве́йла (расширенная модель Солоу Шаблон:Lang-en) — неоклассическая модель экзогенного экономического роста с включением человеческого капитала. Модель Мэнкью — Ромера — Вейла лучше соответствует фактическим межстрановым различиям, чем модель Солоу, благодаря включению человеческого капитала в число факторов производства и тому, что в развитых странах существенно выше уровень человеческого капитала на душу населения. Вместе с тем модель также не даёт объяснения причинам этих различий и сохраняет недостаток экзогенной нормы сбережений. Разработана на основании модели Солоу Грегори Мэнкью, Дэвидом Ромером и Шаблон:Нп3 в 1990 году.

История создания

После того, как Роберт Солоу разработал первую неоклассическую модель экономического ростаШаблон:Sfn, оказалось, что она сильно завышает оценку процентной ставки в развивающихся странахШаблон:Sfn. Одним из путей решения этой проблемы стало расширение понятия капитал за счёт включения в него человеческого капиталаШаблон:SfnШаблон:Sfn. При таком подходе значение эластичности выпуска по капиталу повышалось с примерно ⅓ до примерно ⅔ (если считать сумму человеческого и физического)Шаблон:Sfn и в результате разница в процентной ставке у развитой и догоняющей страны становится намного меньше, чем предсказанная по модели Солоу. Результатом такого подхода и стала модель Мэнкью — Ромера — ВейлаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn (также известная как модель Солоу с человеческим капиталомШаблон:SfnШаблон:Sfn), которая была представлена а работе Грегори Мэнкью, Дэвида Ромера и Шаблон:Нп3 «Вклад в эмпирику экономического роста», опубликованной в декабре 1990 годаШаблон:Sfn и изданной в журнале The Quarterly Journal of Economics в мае 1992 годаШаблон:Sfn. Название работы — явная отсылка к названию работы Роберта Солоу 1956 года «Вклад в теорию экономического роста»Шаблон:Sfn.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт $Y$, используемый, как для потребления $C$, так и для инвестиций $I$. Темпы технологического прогресса $g$, роста населения $n$ и норма выбытия капитала (как человеческого, так и физического) $\delta$ — постоянны и задаются экзогенно. В модели присутствуют две нормы сбережений для физического ($s_K$) и человеческого капитала ($s_H$) обе они задаются экзогенно, фискальная политика (государственные расходы и налоги) в модели отсутствует. Время $t$ изменяется непрерывноШаблон:Sfn.

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведённый продукт тратится на инвестиции в физический и человеческий капитал, и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: $S=I=s_{K}Y+s_{H}Y$, $Y=C+I$.

Производственная функция $Y(K,H,L,E)$ имеет вид $Y(K,H,LE)$ и удовлетворяет неоклассическим предпосылкамШаблон:SfnШаблон:Sfn:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): $Y_t=Y(K_t,H_t,L_t{E}_t),E_t=E_0{e}^{gt},g=const$ , где $K_t$ —физический капитал, $H_t$ - человеческий капитал, $L_t$ — труд, $E_t$ — параметр технологического прогресса в момент времени $t$.

2) производственная функция обеспечивает постоянную отдачу от масштаба: $Y(aK,aH,aLE)=aY(K,H,LE)$.

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: $\frac{\partial Y}{\partial K}>0,\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial K^2}<0,\frac{\partial Y}{\partial H}>0,\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial H^2}<0,\frac{\partial Y}{\partial L}>0,\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial L^2}<0$.

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если количество одного из факторов бесконечно мало, то его предельная производительность бесконечно велика, если же количество одного из факторов бесконечно велико, то его предельная производительность бесконечно мала: $\underset{K\to 0}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial K}=\underset{H\to 0}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial H}=\underset{L\to 0}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial L}=+\mathrm{\infty },\underset{K\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial K}=\underset{H\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial H}=\underset{L\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial L}=0$.

5) производству необходим каждый фактор: $Y(0,H,LE)=Y(K,0,LE)=Y(K,H,0)=0$.

Население $L_t$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растёт с постоянным темпом $n$: $L_t=L_0{e}^{nt},n=const$Шаблон:Sfn.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда $y=\frac{Y}{LE}$, объем физического капитала на единицу эффективного труда $k=\frac{K}{LE}$, объем человеческого капитала на единицу эффективного труда $h=\frac{H}{LE}$,потребление на единицу эффективного труда $c=\frac{C}{LE}$, инвестиции на единицу эффективного труда $i=\frac{I}{LE}$.

Тогда производственную функцию можно записать в следующем виде:$y=\frac{Y}{LE}=Y(\frac{K}{LE},\frac{H}{LE},1)=f(k,h)$.

Наиболее часто в качестве конкретного примера производственной функции, удовлетворяющей предпосылкам модели, используется производственная функция Кобба — ДугласаШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$Y(K,H,LE)=K^{\alpha }{H}^{\beta }(LE{)}^{1-\alpha -\beta },y=k^{\alpha }{h}^{\beta },0<\alpha ,0<\beta ,\alpha +\beta <1$,

где $\alpha$ — эластичность выпуска по физическому капиталу, $\beta$ — эластичность выпуска по человеческому капиталу, $(1-\alpha -\beta )$ — эластичность выпуска по труду.

Как и в модели Солоу, поведение потребителей в явном виде в модели не рассматривается. Функция полезности отсутствует. Вместо этого имеется две экзогенно задаваемые нормы сбережений физического и человеческого капитала $s_K$ и $s_H$,$0<s_K,0<s_H,s_K+s_H<1$, означающие, что домохозяйства сберегают долю своего дохода $s_K+s_H$, а оставшуюся долю $1-s_K-s_H$ тратят на потребление, и это соотношение не зависит от происходящих в экономике событийШаблон:Sfn.

Стационарное состояние в модели

Модель Мэнкью — Ромера — Вейла, фазовая плоскость

Исходя из принципов построения модели, в каждый момент времени $t$ физический и человеческий капитал увеличиваются на величину инвестиций, то есть на $s_{K}Y$ и $s_{H}Y$ соответственно, и уменьшаются на $\delta K$ и $\delta H$, таким образом, мы можем записать производные по времени физического капитала $\dot{K}$ и человеческого капитала $\dot{H}$ в следующем видеШаблон:Sfn:

$\dot{K}=s_K{Y}_t-\delta K_t$,

$\dot{H}=s_H{Y}_t-\delta H_t$.

Учитывая, что $k=\frac{K}{LE}$ и $h=\frac{H}{LE}$, производные по времени капиталовооружённости труда единицы эффективного труда $\dot{k}$ и объема человеческого капитала на единицу эффективного труда $\dot{h}$ можно выразить следующим образомШаблон:Sfn:

$\dot{k}=\frac{\dot{K}}{L_t{E}_t}-\frac{K_t(\dot{L}{E}_t+L_t\dot{E})}{(L_t{E}_t{)}^2}=\frac{s_K{Y}_t-\delta K_t}{L_t{E}_t}-\frac{K_t}{L_t{E}_t}(\frac{\dot{L}}{L_t}+\frac{\dot{E}}{E_t})=s_{K}f(k_t,h_t)-(n+g+\delta )k_t$

$\dot{h}=\frac{\dot{H}}{L_t{E}_t}-\frac{H_t(\dot{L}{E}_t+L_t\dot{E})}{(L_t{E}_t{)}^2}=\frac{s_H{Y}_t-\delta H_t}{L_t{E}_t}-\frac{H_t}{L_t{E}_t}(\frac{\dot{L}}{L_t}+\frac{\dot{E}}{E_t})=s_{H}f(k_t,h_t)-(n+g+\delta )h_t$

где $\dot{L}$ — производная по времени количества населения, $\dot{E}$ — производная по времени эффективности труда, и, с учетом принятых предпосылок, $\frac{\dot{L}}{L_t}=n$ и $\frac{\dot{E}}{E_t}=g$.

Если инвестиции на единицу эффективного труда в физический $i_{K_t}=s_{K}f(k_t,h_t)$ и человеческий капитал $i_{H_t}=s_{H}f(k_t,h_t)$ превышают выбытие капитала на единицу эффективного труда $(n+g+\delta )k_t$ и $(n+g+\delta )h_t$ соответственно, то $k$ и $h$ растут, в противном случае — снижаются. В стационарном состоянии, в котором уровень физического $k$ и человеческого капитала $h$ на единицу эффективного труда постоянны, и, соответственно, $\dot{k}=0$ и $\dot{h}=0$, устойчивые уровни капиталовооружённости труда на единицу эффективного труда $k^{*}$ и запаса человеческого капитала на единицу эффективного труда $h^{*}$ определяются системой уравненийШаблон:Sfn:

$\{\begin{array}{c}{s}_{K}f(k^{*},h^{*})=(n+g+\delta )k^{*}\\ s_{H}f(k^{*},h^{*})=(n+g+\delta )h^{*}\end{array}$

Если в модели в качестве производственной функции используется функция Кобба — Дугласа $Y(K,H,LE)=K^{\alpha }{H}^{\beta }(LE{)}^{1-\alpha -\beta }$, то $k^{*}$ и $h^{*}$ будут равныШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$k^{*}=(\frac{s_K^{1-\beta }{s}_H^{\beta }}{n+g+\delta }{)}^{\frac{1}{1-\alpha -\beta }}$

$h^{*}=(\frac{s_K^{\alpha }{s}_H^{1-\alpha }}{n+g+\delta }{)}^{\frac{1}{1-\alpha -\beta }}$

Графически достижение стационарного состояния в модели Мэнкью — Ромера — Вейла можно проиллюстрировать на фазовой плоскости. Линии $\dot{k}=0$ (синяя) и $\dot{h}=0$ (зелёная) делят диаграмму на четыре квадранта. Выше линии $\dot{h}=0$ траектория капиталовооружённости идёт вниз, а ниже — вверх. Слева от линии $\dot{k}=0$ траектория капиталовооружённости идёт вправо, а справа — влево. Таким образом, в квадранте I траектория идёт вправо и вниз, в квадранте II — влево и вниз, в квадранте III — влево и вверх, в квадранте IV — вправо и вверх. Возможные траектории капиталовооружённости показаны красным. В итоге, в модели из любой начальной точки система приходит к равновесию $(k^{*};h^{*})$Шаблон:Sfn.

В стационарном состоянии темп прироста показателей на единицу эффективного труда равен нулюШаблон:Sfn:

$\frac{\dot{y}}{y}=g_y=\frac{\dot{c}}{c}=g_c=\frac{\dot{h}}{h}=g_h=\frac{\dot{k}}{k}=g_k=0$.

Показатели на единицу труда растут с темпом технологического прогресса $g$Шаблон:Sfn:

$\frac{\left(\dot{\frac{Y}{L}}\right)}{\frac{Y}{L}}=g_{Y/L}=\frac{\left(\dot{\frac{C}{L}}\right)}{\frac{C}{L}}=g_{C/L}=\frac{\left(\dot{\frac{H}{L}}\right)}{\frac{H}{L}}=g_{H/L}=\frac{\left(\dot{\frac{K}{L}}\right)}{\frac{K}{L}}=g_{K/L}=g$

Валовые показатели растут с темпом равным сумме темпов прироста технологического прогресса $g$ и населения $n$Шаблон:Sfn:

$\frac{\dot{Y}}{Y}=g_Y=\frac{\dot{C}}{C}=g_C=\frac{\dot{H}}{H}=g_H=\frac{\dot{K}}{K}=g_K=g+n$.

Оптимальный уровень нормы сбережений (Золотое правило)

Как и в модели Солоу, после нахождения устойчивых уровней $k^{*}$ и $h^{*}$ можно найти такие значения норм сбережений $s_K^{*}$ и $s_H^{*}$, при котором в устойчивом состояние потребление на единицу эффективного труда $c$ максимально. То есть, необходимо решить задачуШаблон:Sfn:

$\underset{s_K,s_H}{\max }c[k(s),h(s)]$

при условиях:

$\dot{k}=0$,

$\dot{h}=0$.

Выразив $c$ через $k$ и $h$ получимШаблон:Sfn:

$c[k(s),h(s)]=(1-s_K-s_H)y=f[k(s),h(s)]-(n+g+\delta )k(s)-(n+g+\delta )h(s)$.

Производные $\frac{\partial c}{\partial s_K}$ и $\frac{\partial c}{\partial s_H}$ равныШаблон:Sfn:

$\frac{\partial c}{\partial s_K}=(\frac{\partial f}{\partial k}-(n+g+\delta ))\frac{\partial k}{\partial s_K}$

$\frac{\partial c}{\partial s_H}=(\frac{\partial f}{\partial h}-(n+g+\delta ))\frac{\partial h}{\partial s_H}$

В точке максимума $\frac{\partial c}{\partial s_K}=0$ и $\frac{\partial c}{\partial s_H}=0$. С ростом нормы сбережений капиталовооружённость на единицу эффективного труда и запас человеческого капитала на единицу эффективного труда растут, потому $\frac{\partial k}{\partial s_K}>0$ и $\frac{\partial h}{\partial s_H}>0$. Значит, в точке максимума должны выполняться равенствоШаблон:Sfn:

$\frac{\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial k}=n+g+\delta$,

$\frac{\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial h}=n+g+\delta$,

где $k^{**}$ — устойчивый уровень капиталовооружённости на единицу эффективного труда, $h^{**}$ — устойчивый уровень запаса человеческого капитала на единицу эффективного труда, соответствующие максимальному потреблению.

Таким образом, нормы сбережений $s_K^{*}$ и $s_H^{*}$, максимизирующие потребление $c$, находятся из решения системы уравненийШаблон:Sfn:

$\{\begin{array}{c}{s}_K^{*}f(k^{**},h^{**})=(n+g+\delta )k^{**},\\ s_H^{*}f(k^{**},h^{**})=(n+g+\delta )h^{**},\\ \frac{\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial k}=n+g+\delta ,\\ \frac{\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial h}=n+g+\delta .\end{array}$

В результате решения этой системы оптимальные нормы сбережения, соответствующие Золотому правилу, равны эластичностям выпуска по соответствующему вида капиталаШаблон:Sfn:

$s_K^{*}=\frac{k^{**}}{f(k^{**},h^{**})}\times \frac{\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial k}$

$s_H^{*}=\frac{h^{**}}{f(k^{**},h^{**})}\times \frac{\partial f(k^{**},h^{**})}{\partial h}$

Если в качестве производственной функции в модели используется используется функция Кобба — Дугласа $Y(K,H,LE)=K^{\alpha }{H}^{\beta }(LE{)}^{1-\alpha -\beta }$, у которой эластичности выпуска по физическому и человеческому капиталу постоянны, то $s_K^{*}=\alpha$ и $s_H^{*}=\beta$Шаблон:Sfn.

Конвергенция

Для оценки скорости приближения к устойчивому состоянию, нужно оценить величины $\frac{\dot{k}}{k}$ и $\frac{\dot{h}}{h}$. Для этого нужно разделить уравнения $\dot{k}=0$ на $k$ и $\dot{h}=0$ на $h$ (с учётом того, что в стационарном состоянии $s_{K}f(k^{*},h^{*})=(n+g+\delta )k^{*}$ и $s_{H}f(k^{*},h^{*})=(n+g+\delta )h^{*}$)Шаблон:Sfn:

$\frac{\dot{k}}{k}=\frac{s_{K}f(k,h)}{k}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta )(\frac{f(k,h)k^{*}}{f(k^{*},h^{*})k}-1)$

$\frac{\dot{h}}{h}=\frac{s_{H}f(k,h)}{h}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta )(\frac{f(k,h)h^{*}}{f(k^{*},h^{*})h}-1)$

Таким образом, при условиях $k_0<k^{*}$ и $h_0<h^{*}$, чем дальше страна находится от равновесного состояния, тем выше темпы роста. Линейные аппроксимации $\dot{k}$ в зависимости от $k$ и $\dot{h}$ в зависимости от $h$ при помощи разложения в ряд Тейлора вокруг точек $k=k^{*}$ и $h=h^{*}$ выглядит следующим образомШаблон:Sfn:

$\dot{k}\approx \frac{\partial \dot{k}}{\partial k}{|}_{k=k^{*}}(k-k^{*})$,

$\dot{h}\approx \frac{\partial \dot{h}}{\partial h}{|}_{h=h^{*}}(h-h^{*})$,

где $\frac{\partial \dot{k}}{\partial k}{|}_{k=k^{*}}=s_K\frac{\partial f(k^{*},h^{*})}{\partial k}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta )(\frac{k^{*}}{f(k^{*},h^{*})}\times \frac{\partial f(k^{*},h^{*})}{\partial k}-1)=(n+g+\delta )({ϵ}_{fk}^{*}-1)$,

$\frac{\partial \dot{h}}{\partial h}{|}_{h=h^{*}}=s_H\frac{\partial f(k^{*},h^{*})}{\partial h}-(n+g+\delta )=(n+g+\delta )(\frac{h^{*}}{f(k^{*},h^{*})}\times \frac{\partial f(k^{*},h^{*})}{\partial h}-1)=(n+g+\delta )({ϵ}_{fh}^{*}-1)$,

где ${ϵ}_{fk}^{*}$ — эластичность выпуска по физическому капиталу в устойчивом состоянии, ${ϵ}_{fh}^{*}$ — эластичность выпуска по человеческому капиталу в устойчивом состоянии.

Эти уравнения можно представить в следующем видеШаблон:Sfn:

$k_t-k^{*}=e^{-\lambda t}(k_0-k^{*})$,

$h_t-h^{*}=e^{-\mu t}(h_0-h^{*})$,

где $\lambda$ — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции физического капитала, $\mu$ — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции человеческого капитала.

Таким образом, модель Мэнкью — Ромера — Вейла, как и модель Солоу, предполагает условную конвергенцию, то есть, что бедные страны будут расти быстрее богатых и в конце концов достигнут их уровня благосостояния при условии, что структурные параметры их экономик одинаковыШаблон:Sfn.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

В том случае, если в модели $\alpha +\beta =1$, она превращается в простейший аналог AK-модели. В этом случае производственная функция Кобба имеет вид: $Y=A{K}^{\alpha }{H}^{1-\alpha }$. В такой постановке в модели возможен эндогенный экономический рост, даже при нулевом темпе технологического прогресса и роста населения ($g=0$ и $n=0$) . В этом случае в модели в устойчивом состоянии рост валовых показателей равен темпу роста удельных и равенШаблон:Sfn:

$g_y=g_c=g_h=g_k=g_Y=g_C=g_H=g_K=A{s}_K^{\alpha }{s}_H^{1-\alpha }$.

Также вместо экзогенных норм сбережения в модель можно ввести функцию полезности потребителяШаблон:Sfn:

$U(C)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{C^{1-\theta }}{1-\theta }{e}^{-\rho t}dt$,

где $\rho$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, $\rho >0,\rho =const$.

В этом случае экономический рост в равновесном состоянии при нулевом темпе технологического прогресса и роста населения ($g=0$ и $n=0$) равенШаблон:Sfn:

$g_y=g_c=g_h=g_k=g_Y=g_C=g_H=g_K=\frac{1}{\theta }({\alpha }^{\alpha }(1-\alpha {)}^{1-\alpha }-\rho )$.

А если выразить физический капитал через оптимальное соотношение с человеческим: $\frac{K}{H}=\frac{\alpha }{1-\alpha }$, производственная функция примет видШаблон:Sfn: $Y=A(\frac{1-\alpha }{\alpha }{)}^{1-\alpha }K$.

Таким образом, в том случае, если в модель добавляется функция полезности потребителя и если $\alpha +\beta =1$, она превращается в полный аналог АК-моделиШаблон:Sfn.

В своей работе авторы модели провели эмпирическую оценку своей модели, сравнив данные по различным странам, получили довольно высокое значение коэффициента детерминации равное 0,78 по итогам проведённой регрессииШаблон:Sfn. Однако в последующих работах их методика подвергалась критике, например, в работе П. Кленова и А. Родригез-Клэра показано, что при более корректном подсчёте показателей, коэффициент детерминации снижается с 0,78 до 0,33Шаблон:Sfn. В целом в подобных исследованиях всегда необходимо принимать дополнительные предположения о структуре экономики, потому полученные результаты необходимо интерпретировать осторожноШаблон:Sfn.

Модель лучше, чем модель Солоу, описывает межстрановые различия в ВВП на душу населения и темпах его роста благодаря тому, что в развитых странах существенно выше уровень человеческого капитала на душу населенияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Но при этом модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. ДжонсаШаблон:Sfn, Дж. Де ЛонгаШаблон:Sfn, П. РомераШаблон:Sfn. Есть лишь единичные примеры (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо) когда бедные страны смогли догнать богатые по уровню ВВП на душу населения, в большинстве своём сближения уровня развития не происходитШаблон:Sfn.

Также, как и в модели Солоу, научно-технический прогресс и нормы сбережений в модели Мэнкью — Ромера — Вейла не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задаётся экзогенно. Расширенные версии модели преодолевают эти недостатки, однако, в этом случае стирается грань между двумя видами капитала, и модель становится более упрощённой и приобретает все достоинства и недостатки АК-моделиШаблон:Sfn.

Хотя модель и является определённым шагом вперёд по сравнению с моделью Солоу, поскольку лучше описывает межстрановые различия, но при этом она не даёт объяснений причинам этих различий: по модели получается, что бедные страны бедны потому что им недостаёт физического или человеческого капитала, или потому что в них используются неэффективные технологии. Однако почему так происходит — модель не даёт ответа. В определённом смысле она схожа с утверждением о том что бедный человек беден, потому что у него мало денегШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья