Мультивектор

Сумма 2-мультивекторов

Мультивектор — элемент внешней алгебры, представляющий собой сумму поливекторов (векторов, бивекторов, тривекторов и т. д.).

Любой поливектор (k-вектор) можно представить как сумму k-лезвий (простых k-векторов), где каждое k-лезвие в свою очередь разложимо на внешнее произведение векторов количеством k штук.

2-лезвие может быть геометрически представлено как ориентированная плоскость в пространстве любой размерности и может использоваться для представления вращения в нём.

n-вектор в пространстве размерности n называется псевдоскаляром, тогда как (n-1)-вектор называется псевдовектором. Так, псевдовектором трёхмерного пространства является любой бивектор.

Сумма 1-вектора и скаляра также известна как паравектор.

k-вектор дуален к k-форме.

Свойства:

• Любая линейно независимая система векторов $a_1,a_2,\dots ,a_k$ из $V$ определяет ненулевой k-вектор;
• Линейно независимые системы $a_1,a_2,\dots ,a_k$ и $b_1,b_2,\dots ,b_k$ порождают одно и то же подпространство в $V$ в том и только в том случае, когда
      $a_1\wedge a_2\wedge \dots \wedge a_k=\lambda b_1\wedge b_2\wedge \dots \wedge b_k$;
• Для любого ненулевого поливектора $t\in \bigwedge {\mathrm{\backslash nolimits}}^{k}V$ его аннулятор $\mathrm{Ann}t=\{v\in V|t\wedge v=0\}$ есть подпространство размерности $\le k$, причём поливектор $t$ разложим тогда и только тогда, когда $\dim \mathrm{Ann}t=k$;
• Разложимые k-векторы Шаблон:Mvar-мерного пространства Шаблон:Mvar образуют коническое алгебраическое многообразие в ${\mathrm{\Lambda }}^k(V)$ соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана;
• Любой ненулевой Шаблон:Mvar-вектор или Шаблон:Math-вектор в Шаблон:Mvar-мерном пространстве разложим;
• Бивектор $t$ разложим тогда и только тогда, когда $t\wedge t=0$;
• Если фиксировать ненулевой $n$-вектор $\omega \in \bigwedge {\mathrm{\backslash nolimits}}^n(V)$, то возникает естественный изоморфизм:

  $\pi :\bigwedge {\mathrm{\backslash nolimits}}^k(V)\to \bigwedge {\mathrm{\backslash nolimits}}^{n-k}(V)$

  такой, что $t\wedge u=⟨\pi (t),u⟩\omega$ для всех $u\in \bigwedge {\mathrm{\backslash nolimits}}^{n-k}(V)$.

Литература

• Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрияШаблон:Недоступная ссылка. — М.: Наука, 1980.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.