Надбарьерное отражение

Надбарье́рное отраже́ние — термин, употребляемый в квантовой механике для описания невозможного в классической физике явления отражения движущейся частицы от потенциального барьера, максимальная высота которого $U_{m a x}$ меньше полной энергии частицы $E$ . Коэффициент отражения определяется формой барьера (в одномерном случае $U (x)$ ), а также энергией и массой частицы. При этом коэффициент прохождения оказывается меньше единицы. Аналогичный эффект имеет место при прохождении частицы над потенциальной ступенькой или квантовой ямой.

Подход к рассмотрению

Независимо от профиля потенциала $U (x)$ движение частицы рассматривается с использованием стационарного уравнения Шрёдингера. Принимается, что частица движется слева направо (вдоль оси $x$ ), потенциал на большом расстоянии слева от барьера равен нулю, а справа $V_{0}$ (возможно, $V_{0}$ тоже равно нулю). В таком случае волновые функции слева и справа от барьера представляют собой плоские волны вида:

ψ_{1} (x) = e^{i k_{1} x} + r e^{- i k_{1} x}

(далеко слева),

ψ_{2} (x) = t e^{i k_{2} x}

(далеко справа).

k_{1} = \sqrt{\frac{2 m_{1} E}{ℏ^{2}}}

и

k_{2} = \sqrt{\frac{2 m_{2} (E - V_{0})}{ℏ^{2}}}

— модули волновых векторов.

Масса $m$ , вообще говоря, может различаться по областям, почему её символ и снабжён дополнительным индексом; $ℏ$ — постоянная Планка.

Если профиль $U (x)$ содержит резкие скачки, то на всех границах должно выполняться условие «сшивки» волновой функции $ψ$ и токов вероятности; последнее требует обеспечения непрерывности величины $ψ^{'} / m$ .

В процессе решения уравнения Шрёдингера определяются неизвестные константы $r$ и $t$ , с использованием которых далее находятся коэффициенты отражения и прохождения:

R = | r |^{2}, T = \frac{k_{2} m_{1}}{m_{2} k_{1}} | t |^{2}

.

Ниже представлены результаты такого рассмотрения для нескольких систем.

Примеры

Скачок потенциальной энергии

Шаблон:Main

Потенциальная энергия как функция координаты

Задача о переходе частицы, без изменения её массы, в область с другой потенциальной энергией $V_{0} = V$ , имеет следующее решение:

r = \frac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}}, t = \frac{2 k_{1}}{k_{1} + k_{2}}

.

Коэффициенты отражения и прохождения составляют

R = {(\frac{1 - \sqrt{1 - V / E}}{1 + \sqrt{1 - V / E}})}^{2}, T = \frac{4 \sqrt{1 - V / E}}{{(1 + \sqrt{1 - V / E})}^{2}}

.

Коэффициент отражения имеет конечное значение, но при стремлении $E$ к бесконечности он стремится к нулю.

Прямоугольный потенциальный барьер

Шаблон:Main

В случае прямоугольного барьера потенциал по обе его стороны нулевой (и $V_{0} = 0$ ). Условия сшивки действуют на двух границах: при $x = 0$ и $x = a$ . Волновые векторы слева-справа и в барьере составляют

k_{1} = k_{2} = \sqrt{\frac{2 m E}{ℏ^{2}}}, k_{b} = \sqrt{\frac{2 m (E - V)}{ℏ^{2}}}

.

Результат для коэффициентов отражения и прохождения:

R = 1 - T, T = \frac{1}{1 + \frac{(k_{1}^{2} - k_{b}^{2})^{2}}{4 k_{1}^{2} k_{b}^{2}} \sin^{2} k_{b} a}

.

При $E > V$ коэффициент отражения в общем случае отличен от нуля. Но при определённых энергиях $E$ становится $R = 0$ из-за обнуления синуса.

Изменение эффективной массы

Потенциальная энергия, как функция координаты неизменна, но масса для частицы слева и справа от нуля различна

В данном случае коэффициенты $r$ и $t$ рассчитываются по формулам:

r = \frac{\sqrt{m_{1}} - \sqrt{m_{2}}}{\sqrt{m_{1}} + \sqrt{m_{2}}}, t = \frac{2 \sqrt{m_{1}}}{\sqrt{m_{1}} + \sqrt{m_{2}}}

.

Соответственно, коэффициенты отражения и прохождения составят

R = {(\frac{\sqrt{m_{1}} - \sqrt{m_{2}}}{\sqrt{m_{1}} + \sqrt{m_{2}}})}^{2}, T = \frac{4 \sqrt{m_{1} m_{2}}}{{(\sqrt{m_{1}} + \sqrt{m_{2}})}^{2}}

.

При равенстве эффективных масс нет никакого отражения.

Бесконечная квантовая яма

Шаблон:Main

Прохождение частицы над ямой в виде дельта-функции

Дельтообразная квантовая яма — это потенциал вида $U (x) = λ / m \cdot δ (x)$ , где $λ = const < 0$ .

Примечание: при наличии $δ$ -функциональных особенностей потенциала несколько изменяются условия сшивки производных, вытекающие из требования непрерывности тока, см. конкретнее.

Коэффициенты отражения и прохождения для такой ямы составляют

R = | r |^{2} = \frac{1}{1 + \frac{2 m ℏ^{2} E}{λ^{2}}}, T = | t |^{2} = \frac{1}{1 + \frac{λ^{2}}{2 m ℏ^{2} E}}

.

Получается, что отражение частицы возможно при её надъямном движении с любой энергией $E$ , хотя при повышении энергии вероятность отражения снижается.

Практическая релевантность

Все типы структур, представленные выше, встречаются или могут быть созданы на практике. В технологии полупроводниковых гетероструктур есть возможность получения многослойных систем с различными материалами. Поскольку возможности варьирования комбинаций материалов достаточно широки, вполне реально получение желаемых высот барьеров (от долей эВ до нескольких эВ) и величин эффективной массы. Соответственно, роль профиля потенциала $U (x)$ будет играть профиль зоны проводимости $E_{c} (x)$ .

Литература

Надбарьерное отражение

Содержание

Подход к рассмотрению