Потенциальная ступенька

Потенциальная энергия как функция координаты: сплошная линия — простейшая модель ступеньки со скачком потенциала, пунктирная — модель, имитирующая размытие.

Потенциа́льная ступе́нька — профиль потенциальной энергии частицы $U$, характеризующийся резким переходом от одного (принимаемого за нулевое, для удобства) значения к другому ($V_0$). Такие профили анализируются в квантовой механике, при этом коэффициент прохождения частицы с полной энергией $E>V_0$ оказывается отличным от единицы.

Простейшим профилем потенциала указанного типа является скачок:

$U(x)=0$ при $x<0$ и $U(x)=V_0$ при $x>0$.

Для учёта некоторого размытия перехода используется выражение

$U(x)=\frac{1}{2}{V}_0(1+\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{x}{2a}),a=\text{const}>0$,

моделирующее монотонное возрастание от 0 на $-\mathrm{\infty }$ до $V_0$ на $+\mathrm{\infty }$.

Потенциальная ступенька может формироваться, например, координатной зависимостью энергии $U(x)=E_c(x)$ дна зоны проводимости полупроводниковой гетероструктуры, когда из-за разности сродства к электрону двух материалов на их стыке возникает достаточно резкий скачок $E_c$.

Модель скачкообразной ступеньки

Стационарное уравнение Шрёдингера для скачкообразной потенциальной ступеньки имеет вид:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+V_0\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi }(x)$ для $x>0$,

и то же самое без слагаемого с $V_0$ для $x<0$. Здесь $m$ — масса частицы, $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка, а $\mathrm{\Psi }$ — волновая функция частицы. Предполагается, что частица движется в сторону положительных $x$. Далее все символы с цифрой 1 относятся к области $x<0$, а с цифрой 2 — к $x>0$.

Считая, что $E>V_0$, волновую функцию для областей 1 ($\mathrm{\Psi }={\psi }_1$) и 2 ($\mathrm{\Psi }={\psi }_2$) запишем как

${\psi }_1(x)=e^{i{k}_{1}x}+r{e}^{-i{k}_{1}x}(x<0)$

${\psi }_2(x)=t{e}^{i{k}_{2}x}(x>0)$,

где

$k_1=\sqrt{\frac{2mE}{{\hslash }^2}},k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}}$.

Из требования непрерывности волновой функции и её производной в точке $x=0$ получим

$1+r=t$

$i\hslash k_1-ir\hslash k_1=it\hslash k_2$,

что даёт

$r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},t=\frac{2k_1}{k_1+k_2}$.

В итоге имеем коэффициенты отражения (надбарьерного отражения) и прохождения:

$R=|r{|}^2={\left(\frac{1-\sqrt{1-V_0/E}}{1+\sqrt{1-V_0/E}}\right)}^2,T=\frac{k_2}{k_1}|t{|}^2=\frac{4\sqrt{1-V_0/E}}{{(1+\sqrt{1-V_0/E})}^2}$.

Этот результат принципиально отличается от классического: в классической механике никакого отражения в таком случае нет, а $T=1$ независимо от $E$.

Модель размытой ступеньки

Стационарное уравнение Шрёдингера для размытой потенциальной ступеньки (степень размытия задаётся параметром $a$: чем он меньше, тем ближе потенциал к скачкообразному) записывается:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+\frac{1}{2}{V}_0(1+\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{x}{2a})\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi }(x)$

Если обозначить $k=\sqrt{2mE/{\hslash }^2}$ и $\lambda =\sqrt{2m{V}_0{a}^2/{\hslash }^2}$, то оно примет вид

${\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+(k^2-\frac{{\lambda }^2}{2a^2}(1+\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{x}{2a}))\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi }(x).$

Если сделать замену переменной

$y=\frac{1}{1+e^{\frac{x}{a}}},$

то, с учётом обозначения $\varkappa =ka$, приведётся к виду:

$y(1-y){\mathrm{\Psi }}^{″}(y)+(1-2y){\mathrm{\Psi }}^{\prime }(y)+(\frac{{\varkappa }^2}{y(1-y)}-\frac{{\lambda }^2}{y})\mathrm{\Psi }(y)=0.$

Так как точки $y=0$ и $y=1$ являются особыми точкам данного уравнения, то естественно искать решение в виде:

$\mathrm{\Psi }(y)=y^{\nu }(1-y{)}^{\mu }f(y).$

Если выбрать $\nu =\sqrt{{\lambda }^2-{\varkappa }^2}$ и $\mu =i\varkappa$, то уравнение приведётся к гипергеометрическому уравнению Гаусса:

$y(1-y)f^{″}(y)+((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2))f^{\prime }(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.$

Выбирая решения с правильной асимптотикой, получим

$f(y)=C{}_2{F}_1(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)$

Тогда можно получить коэффициенты отражения и прохождения. В случае $E<V_0$:

$R=1,T=0.$

Таким образом, наблюдается полное отражение. В случае $E>V_0$ с учётом обозначения $\sigma =i\nu$:

$R={\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}\pi (\varkappa -\sigma )}{\mathrm{s}\mathrm{h}\pi (\varkappa +\sigma )}\right)}^2$

В пределе $a\to 0$

$R={\left(\frac{\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }\right)}^2$,

что совпадает с результатом предыдущего раздела, если вернуться к изначальным переменным.

Литература

• Шаблон:Книга