Непрерывное вейвлет-преобразование

Шаблон:Underlinked Непрерывное вейвлет-преобразование (Шаблон:Lang-en) — это преобразование, отображающее данную вещественнозначную функцию $x(t)$, определенную на временно́й оси переменной $t$, в функцию

$\gamma (\tau ,s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)\frac{1}{\sqrt{s}}{\psi }^{*}\left(\frac{t-\tau }{s}\right)dt$

двух переменных $\tau$ и $s$. Здесь $\tau$ представляет параллельный перенос, $s$ представляет масштаб и $\psi (t)$ — материнский вейвлет (mother wavelet).

Изначальная функция может быть восстановлена с помощью обратного преобразования

$x(t)=\frac{1}{C_{\psi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\gamma (\tau ,s)\frac{1}{\sqrt{s}}\psi \left(\frac{t-\tau }{s}\right)d\tau \frac{ds}{s^2}$

где

$C_{\psi }=2\pi \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{|\mathrm{\Psi }(\zeta )|}^2}{\left|\zeta \right|}d\zeta$

называется постоянной допустимости и $\mathrm{\Psi }$ — преобразование Фурье от $\psi$. Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

$C_{\psi }<+\mathrm{\infty }$.

Критерий допустимости подразумевает, что $\mathrm{\Psi }(0)=0$, так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Материнский вейвлет (mother wavelet) связан с дочерним вейвлетом (daughter wavelet) следующим соотношением:

${\psi }_{s,\tau }(t)=\frac{1}{\sqrt{s}}\psi \left(\frac{t-\tau }{s}\right)$.

Одним из применений вейвлет-преобразования является сжатие изображений.

Ссылки

• John Sadowsky. Investigation of Signal Characteristics Using the Continuous Wavelet Transform. — P. 259–260

См. также

• Дискретное вейвлет-преобразование