Неравенство Адамара

Нера́венство Адама́ра (также теорема Адамара об определителях), определяет верхнюю границу объёма тела в $n$-мерном евклидовом пространстве, заданного $n$ векторами. Названо в честь Жака Адамара.

Формулировка

Пусть $v_i\in {ℝ}^n,i=1,2,\dots ,n$, а $M$ — матрица, столбцами которой являются векторы $v_i:i=1,2,\dots ,n$. Тогда

$|\det (M)|⩽\prod _{i=1}^n{||v_i||}_2,$

где ${||\cdot ||}_2$ — евклидова норма вектора.

Другими словами, с точки зрения геометрии объём $n$-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны.

Лемма

Докажем сначала небольшую лемму:

Если матрица $A$ размерности $n\times n$ положительно определённая, то

$|A|⩽a_{11}{a}_{22}\dots a_{nn}.$

Доказательство леммы

Определитель $|A|$ можно представить в виде

$|A|=a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \dots & a_{2n}\\ a_{32}& \dots & a_{3n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}0& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|.$

Так как $A$ положительно определённая, то и матрица, которая является первым слагаемым в сумме, тоже положительно определённая, следовательно, квадратичная форма по переменным $a_{12},a_{13},\dots ,a_{1n}$, каковой является второе слагаемое, не является положительно определенной. В силу этого

$|A|⩽a_{11}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& \dots & a_{2n}\\ a_{32}& \dots & a_{3n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|.$

Отсюда, применяя индукцию, получаем требуемый результат.

Доказательство неравенства Адамара

Для доказательства неравенства Адамара нужно применить доказанную лемму к положительно определённой квадратной матрице вида $A=M{M}^T$.

Матрицы, определители которых достигают границы Адамара

В комбинаторикe матрицы с элементами из $\{+1,-1\}$, для которых в неравенстве Адамара выполняется равенство, называются матрицами Адамара. Таким образом, определитель таких матриц по модулю равен $n^{\frac{n}{2}}$. Из таких матриц получают коды Адамара.

См. также

• Граница Плоткина

Литература

• R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
• E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.