Неравенство Безиковича

Неравенство Безиковича в дифференциальной геометрии — соотношение, которое даёт нижнюю оценку площади поверхности с краем, допускающей параметризацию квадратом $[0, 1] \times [0, 1]$ . Названо по имени Абрама Безиковича.

Формулировка

Для римановой метрики $g$ на $n$ -мерном кубе $[0, 1]^{n}$ выполняется неравенство

v o l ([0, 1]^{n}, g) \geq \prod_{i = 1}^{n} a_{i}

,

где $a_{i}$ обозначает расстояние в $g$ между $i$ -ой парой противоположных граней.

Пусть $g$ есть метрика без сопряжённых точек на $ℝ^{n}$ , которая совпадает с евклидовой вне компактного множества. Тогда $(ℝ^{n}, g)$ изометрично евклидову пространству.

Неравенство Безиковича с константой выполняется для произвольных метрик на квадрате, вместо объёма можно взять меру Хаусдорфа той же размерности.

Для финслеровых метрик верна похожая оценка с константой, которая зависит от размерности и типа объёма.