Неравенство Седракяна

В элементарной математике, следующее неравенство известно как неравенство Седракяна, неравенство Бергстрема, форма Энгеля или лемма Титу соответственно, отсылая к статье «О приложениях одного полезного неравенства» Наири Седракяна, опубликованной в 1997 году, к книге «Стратегии решения задач». Артура Энгеля, опубликованной в 1998 году, и книге «Сокровища математических олимпиад» Титу Андрееску, опубликованной в 2003 году. Это прямое следствие неравенства Коши-Буняковского-Шварца. В своей статье (1997) Седракян заметил, что это неравенство может быть использовано как метод математического доказательства и имеет очень полезные новые применения. В книге «Алгебраические неравенства» (Седракян) дано несколько обобщений этого неравенства.

Формулировка неравенства

Для любых вещественных $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ и положительных чисел$b_1,b_2,b_3,\dots ,b_n,$ верно:

$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{{(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2}{b_1+b_2+\cdots +b_n}.$

(Наири Седракян (1997), Артур Энгель (1998), Титу Андрееску (2003))

Вероятностное утверждение

Подобно неравенству Коши-Шварца, неравенство Седракяна можно обобщить на случайную величину . В этой формулировке пусть $X$ — действительная случайная величина, и пусть $Y$ — положительная случайная переменная. X и Y не обязательно должны быть независимыми, но мы предполагаем, что $E[|X|]$ и $E[Y]$ определены. Тогда $$\mathrm{E}[X^2/Y]\ge \mathrm{E}[|X|{]}^2/\mathrm{E}[Y]\ge \mathrm{E}[X{]}^2/\mathrm{E}[Y].$$

Прямые приложения

Пример 1. Неравенство Несбитта.

Для положительных действительных чисел $a,b,c:$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}.$

Пример 2. Международная математическая олимпиада (ИМО) 1995 г.

Для положительных действительных чисел $a,b,c$, где $abc=1$ выполняется:

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge \frac{3}{2}.$

Пример 3.

Для положительных действительных чисел $a,b$ имеем $8(a^4+b^4)\ge (a+b{)}^4.$

Пример 4.

Для положительных действительных чисел $a,b,c$ верно $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge \frac{9}{2(a+b+c)}.$

Доказательства

Пример 1.

Доказательство: Используем $n=3,$$(a_1,a_2,a_3):=(a,b,c),$ и $(b_1,b_2,b_3):=(a(b+c),b(c+a),c(a+b))$, тогда:

$$\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+a)}+\frac{c^2}{c(a+b)}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}=\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2(ab+bc+ca)}+1\ge \frac{1}{2}(1)+1=\frac{3}{2}.◼$$

Пример 2.

Имеем $\frac{(\frac{1}{a}{)}^2}{a(b+c)}+\frac{(\frac{1}{b}{)}^2}{b(a+c)}+\frac{(\frac{1}{c}{)}^2}{c(a+b)}\ge \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}{)}^2}{2(ab+bc+ac)}=\frac{ab+bc+ac}{2a^2{b}^2{c}^2}\ge \frac{3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}}{2a^2{b}^2{c}^2}=\frac{3}{2}.$

Пример 3.

Верно $\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge \frac{(a+b{)}^2}{2}$, так что $a^4+b^4=\frac{{\left(a^2\right)}^2}{1}+\frac{{\left(b^2\right)}^2}{1}\ge \frac{{(a^2+b^2)}^2}{2}\ge \frac{{\left(\frac{(a+b{)}^2}{2}\right)}^2}{2}=\frac{(a+b{)}^4}{8}.$

Пример 4.

У нас есть

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge \frac{(1+1+1{)}^2}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}.$