Нормальная высота

Рис. 1. $W_0$ — нулевой потенциал, $W_A$ — потенциал в точке $A$, $H^{\gamma }$ — нормальная высота точки $A$, ${\zeta }_A$ — аномалия высоты точки $A$

Нормальная высота — один из возможных способов определения высоты от уровня моря. Величина, численно равная отношению геопотенциальной величины в данной точке к среднему значению нормальной силы тяжести Земли по отрезку, отложенному от поверхности земного эллипсоида.

Иначе, значение, которое можно охарактеризовать как: перемещение единичной массы в поле силы тяжести $g$ из некоторой точки $U_0$ с потенциалом $W_0$ в точку $U$ с потенциалом $W$, деленное на среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке $U_0$ до $U$. В отличие от ортометрической высоты при вычислении нормальной высоты нет необходимости иметь информацию о внутреннем строении Земли, так как вычисление нормальной высоты происходит не в реальном, а в нормальном поле.

Общая информация

История введения термина

Впервые нормальные высоты введены М. С. Молоденским, тогда они ещё не имели названия и были обозначены через $q$. В работе того же Молоденского, нормальные высоты были названы вспомогательными. Свое современное название эти высоты, по предложению Молоденского, получили в работе В.Ф. Ермеева

М. С. Молоденский отметил, что определение малой разности между реальным и нормальным гравитационным полем Земли (аномальное поле) имеет строгое решение, если в возникающих уравнениях ввести «вспомогательные» высоты $H^{\gamma }$ под условием:

$W(H)-W_0(H={\zeta }_0)=U(H=H^{\gamma })-U_0(H=0)$

В. Ф. Еремеев отметил, что «вспомогательные» высоты ближе к суммам нивелирных превышений, чем ортометрические высоты, и по предложению самого Молоденского был введён термин «нормальная высота».

Связь с Балтийской системой высот

При измерении нивелирных превышений и вычислении геопотенциальных чисел в разных странах используют различные исходные пункты. Каждая изолированная нивелирная сеть, развитая от какого-либо футштока, определяет разности потенциалов точек этой сети относительно уровненной поверхности $W=W_0$, проходящей через исходный пункт данной сети. Поскольку уровень моря в разных районах различен, исходные пункты связаны с разными уровенными поверхностями, и по измерениям в изолированных сетях нельзя получить геопотенциальные числа для всей Земли в единой системе. Чтобы подчеркнуть это, говорят, что на данной территории развита система высот от определённого футштока. Так, в СССР была создана Балтийская система высот, в которой исходным пунктом служит Кронштадский футшток. Здесь термин «система» имеет смысл, как система, которая устанавливает некоторую уровенную поверхность, относительно которой вычисляют разности потенциалов.

Использование в других странах

Система нормальных высот принята в России, странах СНГ и некоторых европейских странах, Швеция, Германия, Франция и др.).

В Австрии, Боснии и Герцеговине, Норвегии, Югославии приняты нормально-ортометрические высоты.

Особенности использования термина

В случаях, когда высоты определены с не очень высокой точностью, все высоты, кроме геодезической, называют высотами над уровнем моря, или абсолютными высотами, а разность высот — относительными высотами. Это аналогично названию координат приближенно все координаты (астрономические, геодезические, геоцентрические) называют географическими.

Способы определения

• Геометрическое нивелирование
• Спутниковое нивелирование

Основные сведения

Рис. 2. Точка $P$ — точка поверхности Земли, через которую проходит нормальная уровенная поверхность, $U=U_p$ — нормальная уровенная поверхность, $U_p$ — нормальный потенциал в точке $P$, $P_1{P}_{\gamma }$ — нормальная высота, $\zeta$ — аномалия высоты, $P_{1}P$ — геодезическая высота

Натуральная система координат связана с силовыми линиями и уровенными поверхностями реального поля Земли. Система координат в нормальном поле связана с нормальной силовой линией и нормальной уровенной поверхностью, проходящими через данных пункт. Так как нормальное поле не совпадает с действительными, координаты в нормально поле отличаются от натуральных.

Связь с геопотенциальным числом

Установим связь нормального геопотенциального числа $U_0-U_p$ с действительным $W_0-W_p$. Для потенциала в точке $P$

$W_p=W_0-(W_0-W_p)$;

$U_p=U_0-(U_0-U_p)$

образуем разность $W_p-U_p$. Учитывая что эта разность равна аномальному потенциалу $T_p$ получим

$(U_0-U_p)=(W_0-W_p)+T_p-(W_0-U_0)$

Действительное и нормальное геопотенциальное число различается на величину аномального потенциала в точке $P$ и разность $W_0-U_0$ потенциалов на геоиде и уровенном эллипсоиде.

Если бы гравитационное поле Земли совпадало с нормальным и потенциал $W_0$ на геоиде был равен потенциалу $U_0$ на уровенном эллипсоиде, нормальное и действительное геопотенциальное число точки $P$ тоже совпали бы. Однако на силовой линии $P_{1}P$ нормального поля, проходящей через точку $P$, всегда найдется такая точка $P^{\gamma }$ в которой нормальное геопотенциальное число тождественно равно действительному

$U_0-U_{p^{\gamma }}\equiv W_0-W_p$

Причем поскольку нормальный потенциал всегда выбирают близким к действительному, точка $P^{\gamma }$ будет не далеко расположена от точки $P$.

Отличие от высоты в нормальном поле

Высота в нормальном поле определена как отрезок $P{P}_1$нормальной силовой линии от эллипсоида до любой точки $P$. Она отличается от геодезической высоты только из-за кривизны нормальной силовой линии, но это отличие практически не ощутимо. Высота в нормальном поле — это расстояние, измеряемое вдоль силовой линии нормального поля от эллипсоида до любой точки $P$, а нормальная высота — расстояние вдоль нормальной силовой линии от той же точки $P_1$ эллипсоида, но не до точки $P$, а до точки $P^{\gamma }$, в который выполняется тождество выше.

Связь с аномалией высоты

Отрезок $P^{\gamma }P=\zeta$ появляется из-за несовпадения действительного и нормального поля является элементом аномального поля. Его называют аномалией высоты.

Аномалию высоты получают как расстояние между уровенными поверхностями проходящими через точки $P$ и $P^{\gamma }$. Согласно формуле $dU=-\gamma d{H}_H$, полагая $dU=U_p-U_{p\gamma }$ и $d{H}_H=\zeta$, находим

$\zeta =\frac{Up\gamma -U_p}{\gamma }$

где $\gamma$ — среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке $\zeta$

Связь с геодезической высотой

Высота $H_H=P_{1}P$ равна сумме нормальной высоты и аномалии высоты

$H_H=H^{\gamma }+\zeta$

Так как высота в нормальном поле практически совпадает с геодезической, это выражение справедливо и для связи геодезической и нормальной высот

$H=H^{\gamma }+\zeta$

Основная формула

Перенесём измеренную разность потенциалов в нормальное поле:

$W_A-W_0=-\underset{(W_0)}{\overset{(W)}{\int }}gdh=U^{\prime }-U_0=-\underset{(U_0)}{\overset{(U^{\prime })}{\int }}\gamma dh=-{\gamma }^m{H}^{\gamma }$

где точка с нормальным потенциалом $U^{\prime }$не совпадает с точкой H на земной поверхности, а лежит с ней практически на одной нормали к эллипсоиду (см. рис. 1), ${\gamma }^m$ — среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке от $U_0$ до $U^{\prime }$:

${\gamma }^m=\frac{1}{H^{\gamma }}\underset{(U_0)}{\overset{(U^{\prime })}{\int }}\gamma dH$

что можно вычислить с любой степенью точности, в отличие от грубо известного $g^m$, где $g^m$ — среднее интегральное значение силы тяжести на отрезке силовой линии. Из условия выше имеем:

Шаблон:Рамка$H^{\gamma }=\frac{1}{{\gamma }^m}\underset{(W_0)}{\overset{(W)}{\int }}gdh=-\frac{W-W_0}{{\gamma }^m}$ — нормальная высота точки земной поверхности. Шаблон:Конец рамки

В простейшем случае ${\gamma }^m$ можно определить по нормальному градиенту как $\gamma$ на половине $H^{\gamma }$, то есть:

${\gamma }_0-\frac{\partial \gamma }{\partial H}\frac{H^{\gamma }}{2}$