Нормированная ассоциативная алгебра

Нормированная ассоциативная алгебра — ассоциативная алгебра над полем действительных или комплексных чисел, являющаяся нормированным пространством, где норма удовлетворяет условию субмультипликативности:

$\mathrm{\forall }x,y:\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

Более общо, нормированную ассоциативную алгебру можно определить над любым нормированным полем. В старых книгах нормированные ассоциативные алгебры могут называться нормированными кольцами.

Иногда приводится условие, ослабляющее условие субмультипликативности на константу:

$\mathrm{\exists }C>0\mathrm{\forall }x,y:\Vert xy\Vert \le C\Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

Ничего нового оно, по существу, не разрешает, так как если Шаблон:Math, то алгебра тривиальна, а если Шаблон:Math, то после умножения нормы на Шаблон:Mvar новая (эквивалентная) норма будет субмультипликативна без константы.

Частные случаи

Любая банахова алгебра по определению — метрически полная нормированная ассоциативная алгебра.

Алгебра ограниченных линейных операторов в нормированном пространстве (не обязательно банаховом) — также является нормированной ассоциативной алгеброй.

Свойства

Нормированная ассоциативная алгебра является топологическим кольцом.

Метрическое пополнение нормированной ассоциативной алгебры является банаховой алгеброй.

Литература

• Шаблон:Книга