Нётерово пространство

Нётерово простра́нство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножествШаблон:SfnШаблон:Sfn. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств $Y_i$ пространства X такой, что:

$Y_1\supseteq Y_2\supseteq Y_3\supseteq \cdots$

существует целое число r, что $Y_s=Y_r\mathrm{\forall }s>r.$

Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество $X$ компактно.

Эквивалентные определения

Топологическое пространство $X$ называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:

• $X$ удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножествШаблон:SfnШаблон:Sfn;
• $X$ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей открытых подмножествШаблон:Sfn;
• каждое непустое семейство замкнутых подмножеств в $X$, упорядоченное по включению имеет минимальный элементШаблон:SfnШаблон:Sfn;
• каждое непустое семейство открытых подмножеств в $X$, упорядоченное по включению имеет максимальный элементШаблон:Sfn;
• каждое подмножество $X$ компактно (с топологией подпространства);
• каждое открытое подмножество $X$ компактноШаблон:Sfn.

Свойства

• Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным)Шаблон:Sfn.
• Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством НётерШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Если пространство $X$ можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то $X$ само нётеровоШаблон:Sfn.
• Нётерово пространство $X$ представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонентШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Примеры

Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии.

• Пространство ${𝔸}_k^n$ ( аффинное n-мерное пространство над полем k) с топологией Зарисского является топологическим пространством НётерШаблон:Sfn. Согласно определению топологии Зарисского в ${𝔸}_k^n$ если:

$Y_1\supseteq Y_2\supseteq Y_3\supseteq \cdots$

есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то:

$I(Y_1)\subseteq I(Y_2)\subseteq I(Y_3)\subseteq \cdots$

является возрастающей последовательностью идеалов $k[x_1,\dots ,x_n]$ ($I(Y_i)$ обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке $(Y_i)$). Поскольку $k[x_1,\dots ,x_n]$ является кольцом Нётер, существует целое число $m$, такое что:

$I(Y_m)=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})\cdots .$

Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами $k[x_1,\dots ,x_n]$ и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами ${𝔸}_k^n$ выполняется $V(I(Y_i))=Y_i$ для всех i. Поэтому: $Y_m=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots$

• Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если $R$ — кольцо Нётер, то пространство $\mathrm{Spec}(R)$ (спектр $R$) является нётеровымШаблон:Sfn.

См. также

• Нётеровость

Литература

• Шаблон:Книга — 1184 стб. — Стб. 1028.
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Дрозд, Юрий.  Введение в алгебраическую геометриюШаблон:Недоступная ссылка